문제
https://www.acmicpc.net/problem/14888
N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.
우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.
예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.
- 1+2+3-4×5÷6
- 1÷2+3+4-5×6
- 1+2÷3×4-5+6
- 1÷2×3-4+5+6
식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.
- 1+2+3-4×5÷6 = 1
- 1÷2+3+4-5×6 = 12
- 1+2÷3×4-5+6 = 5
- 1÷2×3-4+5+6 = 7
N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다.
둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100)
셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다.
출력
첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다.
연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.
예제
풀이
같은 것이 있는 순열을 이용해서 연산자 4개를 (n-1)개의 위치에 배치하여 경우의 수를 구하면 다음과 같다.
(n-1)! / (op[0]! + op[1]! + op[2]! + op[3]!)
(op는 각 연산자의 개수를 저장하는 배열, 총 n-1개)
그래서 브루트포스는 시간복잡도가 약 O(n!)이니까 시간초과가 날 것이라고 생각했는데, n의 범위가 2이상 11이하이므로 최대 10! 미만이어서 시간초과가 나지 않는다.
더 효율적인 방법은 백트래킹을 이용하는 것이다. n개의 피연산자에 대한 연산 결과가 나올 때마다 최대/최소 값을 갱신하고, 상태를 복구한 뒤 다음 경우의 수를 탐색하는 것이다.
n개에서 r개를 선택하는 조합을 구현할 때 다음과 같은 백트래킹 코드를 사용하는데, 이와 유사한 패턴으로 이 문제를 풀 수 있다.
void dfs(int cnt, int idx) { // 현재까지의 결과, 탐색을 진행할 인덱스
// r개를 선택한 경우
if(cnt == r) {
// 결과 처리 후 현재 가지에 대한 탐색 종료
return;
}
// r개를 선택하지 않은 경우 재귀 호출 반복
for(int i = idx; i < n; i++){
if(!selected[i]){
selected[i] = true; // 상태 변화
dfs(cnt + 1, i); // 재귀 호출
selected[i] = false; // 다음 경우의 수를 위해 상태 복구
}
}
}답안
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
int n;
vector<int> nums;
vector<int> oper;
int minVal = 1e9, maxVal = -1e9;
void input(){
cin >> n;
// 피연산자
for(int i = 0; i < n; i++){
int x;
cin >> x;
nums.push_back(x);
}
// 연산자 개수
for(int i = 0; i < 4; i++){
int x;
cin >> x;
oper.push_back(x);
}
}
void updateMaxMin(int result){
if(result > maxVal){
maxVal = result;
}
if(result < minVal){
minVal = result;
}
}
void dfs(int result, int idx){
// n개의 피연산자에 대한 한가지 연산 결과가 나오면
// 최댓값, 최솟값 업데이트
if(idx == n){
updateMaxMin(result);
return;
}
for(int i = 0; i < 4; i++){
if(oper[i] <= 0) continue;
oper[i]--; // 상태 변화 (연산자 사용)
switch(i){ // 재귀 호출
case 0:
dfs(result + nums[idx], idx + 1);
break;
case 1:
dfs(result - nums[idx], idx + 1);
break;
case 2:
dfs(result * nums[idx], idx + 1);
break;
case 3:
dfs(result / nums[idx], idx + 1);
break;
}
oper[i]++; // 상태 복구 (다른 연산자 사용)
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
input();
// 현재까지의 연산 결과, 다음으로 연산할 숫자의 인덱스
dfs(nums[0], 1);
cout << maxVal << "\n" << minVal;
return 0;
}
