출처: https://youtu.be/5OYlS2QQMPA

그리디 알고리즘

• 그리디 알고리즘 (탐욕법)은 현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법을 의미한다.
• 일반적인 그리디 알고리즘은 문제를 풀기 위한 최소한의 아이디어를 떠올릴 수 있는 능력을 요구한다.
• 그리디 알고리즘은 그 정당성 분석이 중요하다. 즉, 단순히 가장 좋아 보이는 것만 반복적으로 선택해도 최적의 해를 구할 수 있는지 검토해야 한다.

• 일반적인 상황에서 그리디 알고리즘은 최적의 해를 보장할 수 없을 때가 많다.
• 하지만, 코딩 테스트에서 대부분의 그리디 문제는 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 상황에서, 이를 추론할 수 있어야 풀리도록 출제된다.

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거스름 돈 문제

• 최적의 해를 빠르게 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주면 된다.
• N원을 거슬러 줘야 할 때, 가장 먼저 500원으로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 준다. 이후에 100원, 50원, 10원짜리 동전을 차례대로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 주면 된다.

N = 1260일 때의 예시를 살펴보자.

정당성 분석

가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주는 것이 최적의 해를 보장하는 이유가 무엇일까?
그것은 가지고 있는 동전 중에서 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로, 작은 단위의 동전들을 조합하여 다른 해가 나올 수 없기 때문이다.

만약, 800원을 거슬러 줘야 하는데 화폐 단위가 500원, 400원, 100원이라면?
그리디 알고리즘에 따르면 500원 1개, 100원 3개로 총 4개가 나오는데, 사실 최적의 해는 400원짜리 2개이다. 다시 말해, 큰 단위가 작은 단위의 배수가 아니라면 그리디 알고리즘으로 최적의 해를 보장하지 못한다.

이처럼 그리디 알고리즘은 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 그것이 정당한지 검토하는 것이 중요하다.

코드 작성

n = 1260 
count = 0 

# 큰 단위의 화폐부터 차례로 확인하기 
array = [500, 100, 50, 10]

for coin in array: 
	count += n // coin # 해당 화폐로 거슬러 줄 수 있는 동전의 개수 세기 
    n %= coin 

print(count) 

시간 복잡도 분석

• 화폐의 종류가 N개라고 할 때, 시간 복잡도는 O(N)이 된다.
• 이 알고리즘의 시간 복잡도는 거슬러줘야 하는 금액과는 무관하며, 동전의 종류 개수인 N에만 영향을 받는다.

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백준 11047번. 동전 0

https://www.acmicpc.net/problem/11047

n 종류의 동전으로 k원을 만드는 데 필요한 동전 개수의 최솟값을 구하는 문제이다. 위에서 예시로 봤던 거스름돈 문제랑 동일하다.

1 ≤ Ai ≤ 1,000,000, A1 = 1, i ≥ 2인 경우에 Ai는 Ai-1의 배수

위 설명에 따르면 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로, 그리디 알고리즘으로 최적해를 구할 수 있다. 하지만, 동전의 단위가 서로 배수 관계가 아닐 때는 동전 단위를 1부터 k까지 늘려가면서 DP로 최적해를 구해야 한다.

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;

	vector<int> v; 
	for (int i = 0; i < n; i++) {
    	int coin;
		cin >> coin;
		v.push_back(coin); // 오름차순으로 입력 
	}

	int cnt = 0; // 필요한 최소 동전의 개수 
    
    // 큰 화폐 단위부터 그리디하게 (탐욕적으로) 선택한다. 
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {  
		cnt += k / v[i];
		k %= v[i];
	}

	cout << cnt << "\n";

	return 0;
}