Ch9 자료분석

적합도 검정

실험 또는 관측 결과와 이론적인 기대값의 일치 정도를 적합도(goodness of fit) 라고 하며, 관측값이 어떤 이론적 분포를 따르는지에 대한 적합도를 검정하는 것을 적합도 검정(goodness of fit test) 이라고 한다.

적합도 검정은 각 모집단이 두 가지 이상의 서로 다른 속성을 갖는 개체들로 나누어진 경우에 여러 모집단을 비교하는 방법으로, 여러 모집단이 동일하다는 귀무가설과 서로 다르다는 대립가설을 검정한다. 각 속성의 실제 관측값을 관측도수(observed frequency) 라고 하고, 귀무가설이 사실인 경우에 기대하는 값을 기대도수(expected frequency) 라고 한다. 만약 귀무가설이 참이라면 관측도수와 기대도수가 거의 일치하며, 관측도수와 기대도수가 차이가 많이 나면 귀무가설을 기각한다.

예를 들어 주사위를 던지는 실험에서 각 눈이 나올 확률은 이론적으로 $\frac{1}{6}$이므로 주사위를 120번 던질 때 각 눈의 기대도수는 20이다. 이때 각 눈의 관측도수와 기대도수의 차가 적을수록 이론에 적합하다고 할 수 있다.

크기가 $n$인 표본을 $k$개의 범주로 나누고, 각 범주의 관측도수가 표와 같다고 하자. 각 범주에 대응하는 모비율을 $p_1,p_2,\cdots,p_k$라고 하면 귀무가설은 각 $p_i$에 어떤 특정한 수치 $p_{i0}$를 대응한 다음과 같은 형태이다.

여기서

이다.

범주의 관측도수

범주	관측도수
1	$n_1$
2	$n_2$
$\vdots$	$\vdots$
$k$	$n_k$
합계	$n$

귀무가설에서 표본의 크기가 $n$일 때, 범주 $i$의 기대도수는 $np_{i0}$이며 실제 관측도수 $n_i$가 기대도수와 얼마나 차이가 나는가에 따라 검정 결과가 달라진다. 즉 차이가 많이 나면 귀무가설을 기각하며, 차이가 충분히 많이 나지 않는다면 귀무가설이 틀렸다고 주장하기 어렵다.

관측도수와 기대도수의 일치 정도를 알기 위해서는 관측도수와 기대도수의 차이가 유의한지를 판단하기 위한 기준이 필요하다. 이때 다음과 같은 $\chi^2$-통계량을 검정통계량으로 이용한다.

여기서 $e_i$는 $i$번째 기대도수로 $np_{i0}$이다. $\chi^2$-통계량은 귀무가설 $H_0$가 참일 때 표본 크기가 충분히 크면, 근사적으로 자유도가 $(k-1)$인 $\chi^2$-분포를 따른다. 따라서 $\chi^2$-통계량의 관측값이 기각역에 포함되면 귀무가설을 기각하고, 채택역에 속하면 귀무가설을 기각하지 못한다. 표본의 크기가 충분히 큰 경우에 검정통계량을 이용한 적합도 검정을 정리하면 다음과 같다.

적합도 검정 절차

1. 가설 설정

   귀무가설

   $H_0:p_1=p_{10},\ p_2=p_{20},\ \cdots,\ p_k=p_{k0}$

   를 설정한다.

2. 검정통계량 계산

   다음과 같은 검정통계량을 구한다.

   $\chi_0^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(n_i-e_i)^2}{e_i} \sim \chi^2(k-1)$

3. 가설검정

   검정통계량의 관측값이

   $\chi_0^2 \ge \chi_{\alpha}^{2}(k-1)$

   을 만족하면 $H_0$를 기각한다.