Linear Combination
선형대수의 가장 핵심이 되는 개념이라고 할 수 있는 선형결합(linear combination)에 대해 다뤄봅시다.
다음과 같이 2차원 좌표공간에 특정한 열벡터 가 있다고 가정해봅시다.
해당 벡터는 다음과 같은 2개의 벡터의 합으로 표현 가능합니다.
이 두 벡터는 2차원 좌표공간에 존재하고 두 벡터의 합을 통해 2차원상에 존재하는 모든 벡터를 표현할 수 있습니다.
그럼 다른 더 복잡한 벡터를 사용하면 어떨까요?
다음과 같은 두가지 열벡터가 있다고 가정해봅시다.
해당 두 벡터에도 적절한 스칼라 값 ()을 취해서 더해주면 2차원 벡터공간 상의 모든 벡터를 표현할 수 있다는 건 굳이 설명안해도 알 수 있을겁니다.
벡터를 점(point)이라고 상상해볼까요? 위 식에서 표현된 벡터 은 2차원 상의 모든 점에 맵핑될 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 2차원 벡터 2개의 선형결합은 곧 2차원 평면(span)을 형성합니다.
다만, 여기에는 조건이 하나 있습니다. 벡터 간의 선형결합으로 span을 형성하기 위해서는 해당 선형결합의 대상이되는 벡터가 다른 벡터들의 스칼라곱으로 이루어지면 안됩니다.
만약 특정 벡터간 관계가 스칼라곱으로 형성되는 게 있다면, 한 벡터는 전혀 의미없는 벡터가 되어버립니다. 하나의 벡터가 밖에 없는 상황이 되므로 1차원 span밖에 형성하지 못합니다.
이러한 현상이 발생하는 벡터간 결합을 Linearly dependent하다고 표현합니다. 그리고 linear combination에서 linearly dependent한 벡터는 곧 span의 차원을 축소시킵니다.
이해를 위해 차원을 좀 늘려봅시다.
3차원 공간에서 다음과 같은 벡터들의 선형결합을 가정해봅시다.
당연히 해당 열벡터들은 1 * 3 형태로 3개의 element를 가지고 있습니다.
세 벡터가 모두 linearly independent하다면 이 선형결합은 3차원 공간 span을 형성할 겁니다.
만약 이 중 한 벡터가 다른 벡터와 스칼라곱의 관계라면 어떨까요? 해당 벡터는 의미없는 벡터가 되어 2차원 평면 span밖에 형성하지 못하는 선형결합이 발생할 겁니다.
자 이제 마지막 정의를 해봅시다. 기저벡터(basis)라는 말을 들어보셨을 겁니다.
2차원 공간에서 linearly independent한 두 개의 2차원 열벡터는 모두 기저벡터가 될 수 있습니다. 왜냐하면 2차원 모든 평면으로 뻗어나가는 span을 형성하기 때문이죠.
3차원 기저벡터는 서로 linearly independent한 세 개의 열벡터일 겁니다.
즉 일반화하면 n차원의 공간은 n개 이상의 서로 linearly independent한 벡터들의 선형결합으로 형성될 수 있습니다. 이를 수학적으로는 다음과 같이 설명합니다.
The basis of vector space is set of linearly independent vectors that span the full space
References
[1] 3Blue1Brown - Essence of linear algebra
