[코테 문제 풀이] 백준 4485번 - 녹색 옷 입은 애가 젤다지? (파이썬)

문제 링크 : https://www.acmicpc.net/problem/4485

문제 설명

젤다의 전설 게임에서 화폐의 단위는 루피(rupee)다. 그런데 간혹 '도둑루피'라 불리는 검정색 루피도 존재하는데, 이걸 획득하면 오히려 소지한 루피가 감소하게 된다!

젤다의 전설 시리즈의 주인공, 링크는 지금 도둑루피만 가득한 N x N 크기의 동굴의 제일 왼쪽 위에 있다. [0][0]번 칸이기도 하다. 왜 이런 곳에 들어왔냐고 묻는다면 밖에서 사람들이 자꾸 "젤다의 전설에 나오는 녹색 애가 젤다지?"라고 물어봤기 때문이다. 링크가 녹색 옷을 입은 주인공이고 젤다는 그냥 잡혀있는 공주인데, 게임 타이틀에 젤다가 나와있다고 자꾸 사람들이 이렇게 착각하니까 정신병에 걸릴 위기에 놓인 것이다.

하여튼 젤다...아니 링크는 이 동굴의 반대편 출구, 제일 오른쪽 아래 칸인 [N-1][N-1]까지 이동해야 한다. 동굴의 각 칸마다 도둑루피가 있는데, 이 칸을 지나면 해당 도둑루피의 크기만큼 소지금을 잃게 된다. 링크는 잃는 금액을 최소로 하여 동굴 건너편까지 이동해야 하며, 한 번에 상하좌우 인접한 곳으로 1칸씩 이동할 수 있다.

링크가 잃을 수밖에 없는 최소 금액은 얼마일까?

• 입력
  • 입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다.
  • 각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 동굴의 크기를 나타내는 정수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 125) N = 0인 입력이 주어지면 전체 입력이 종료된다.
  • 이어서 N개의 줄에 걸쳐 동굴의 각 칸에 있는 도둑루피의 크기가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. 도둑루피의 크기가 k면 이 칸을 지나면 k루피를 잃는다는 뜻이다. 여기서 주어지는 모든 정수는 0 이상 9 이하인 한 자리 수다.
• 출력
  • 각 테스트 케이스마다 한 줄에 걸쳐 정답을 형식에 맞춰서 출력한다. 형식은 예제 출력을 참고하시오.

입출력 예제

예제 입력 1

3
5 5 4
3 9 1
3 2 7
5
3 7 2 0 1
2 8 0 9 1
1 2 1 8 1
9 8 9 2 0
3 6 5 1 5
7
9 0 5 1 1 5 3
4 1 2 1 6 5 3
0 7 6 1 6 8 5
1 1 7 8 3 2 3
9 4 0 7 6 4 1
5 8 3 2 4 8 3
7 4 8 4 8 3 4
0

예제 출력 1

Problem 1: 20
Problem 2: 19
Problem 3: 36

문제 풀이

이 문제는 특정 점에서 특정 점까지의 최소 거리를 구하는 문제로, $O(ElogV)$ 시간복잡도를 갖는 다익스트라 알고리즘을 이용해 풀 수 있다.

우선순위 큐를 이용해 구현했으며, 특정 칸 K에 대하여 ((0,0)→K 이동하는 최소 가중치, K의 x좌표, K의 y좌표)의 정보가 큐에 들어간다.

그래프의 모든 점들을 노드로 보고, 인접한 칸끼리는 모두 간선으로 연결되어있다고 생각하고 접근했다.
현재까지 해당 좌표까지 도달하기 위한 최소 가중치 값들을 distance 배열에 저장한다.

우선 (0, 0)의 좌표를 큐에 넣어주며 다음의 작업을 반복한다.

1. 우선순위 큐에서 좌표(x, y) 하나를 꺼낸다.
2. 해당 좌표의 상하좌우 좌표(nx, ny)에 대하여
   1. (nx, ny) 좌표가 유효하고
   2. (x, y)를 거쳐 (nx, ny)로 가는 가중치가 기존 distance[nx][ny]보다 작다면
      1. 그 좌표를 우선순위 큐에 집어넣고,
      2. distance를 update 한다.

종료 조건은 큐에서 꺼낸 좌표가 (N-1, N-1)인 경우이다.

이를 코드로 구현하면 아래와 같다.

CODE

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline

def solution():
    T = 0
    INF = 1e9
    
    while True:
        T += 1
        N = int(input())
        if N == 0:
            break
        graph = []
        for _ in range(N):
            graph.append(list(map(int, input().split())))
            
        distance = [[INF] * N for _ in range(N)]
        queue = []
        heapq.heappush(queue, (graph[0][0], 0, 0))
        distance[0][0] = graph[0][0]
        while True:
            # queue에서 가장 가중치 적게 드는 노드 V를 뽑고 방문처리
            w, x, y = heapq.heappop(queue)
            
            # 종료 조건 : (N-1, N-1)에 도달한 경우
            if x == N-1 and y == N-1:
                print(f'Problem {T}: {w}')
                break
            
            # V의 상하좌우 노드들을 queue에 집어넣는다. (유효한 좌표인지 확인 + )
            for dx, dy in [(1, 0), (-1, 0), (0, -1), (0, 1)]: # 상하좌우
                nx = x + dx
                ny = y + dy
                
                # 좌표가 그래프 안에 존재해야 한다.
                if nx < 0 or nx >= N or ny < 0 or ny >= N:
                    continue
                
                # 그냥 넣으면 시간초과 난다. 따라서 비교해야한다.
                cost = w + distance[x][y]
                if cost < distance[nx][ny]:
                    distance[nx][ny] = cost
                    heapq.heappush(queue, (w + graph[nx][ny], nx, ny))

if __name__ == "__main__":
    solution()

시간복잡도

• 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도는 $O(ElogV)$이지만 여기서 간선의 수는 $N^2$이고, 노드의 수도 $N^2$이므로 결과적으로 시간복잡도는 $O(N^2logN)$이 된다.