정전기장, 기본 가정

> 정전기장

정전기장이란. 정지되어 있는 전하(Source)를 다루며 시간에 따라 변하지 않고 고정되어 있다.
자기장 성분은 무시하여 문제를 단순화함.

> $\mathbf{F}_{12}=\mathbf{a}_{R_{12}} k\frac{q_1q_2}{R^2_{12}}$ 1785년, Coulomb's Law

정전기장의 기원은 쿨롱의 법칙에서부터라고 할 수 있다.
이는 실험적인 관찰을 토대로 한다.
쿨롱이 제안한 식은 불완전한 실험결과를 기반으로 하여 제안되고 이론적인 가설로 발전된 것이다.

그 이유는
실재 존재하는 전하의 크기가 유한하고 정확한 거리의 측정이 힘들다.
동일 조건 하에서 두 전하의 거리가 멀어지면 거리 측정의 정확도가 좋아지지만, 외부 전하의 간섭이 생김.
실험에서 전기력이 상호거리의 정확히 거듭제곱이라는 것을 정확하게 측정할 수 없음.
ex) 2.0001승 일 수도 있다는 것

> Electric Field Intensity, 전기장의 세기

정전하가 자유공간의 고정된 점에 존재한다고 가정한다.
이때 이 점전하에 의해 발생되는 전기장을 구해본다.

$\mathbf{E}=\displaystyle \lim_{q \to 0}\frac{\mathbf{F}}{q}$ [N/C, V/m]

Electric Field Intensity(전기장 세기)는 전기장이 존재하는 공간에 매우 작은 시험전하가 존재할 때 이 전하가 받게 되는 힘의 크기를 단위 전하당 비율로 정의한 값이다.

$\mathbf{E}$ : 전기장이 아니라 전기장의 세기이다.

매우 작은 시험전하($\displaystyle \lim_{q \to 0}$)인 이유는 시험전하의 크기가 유한할 경우 존재하는 $\mathbf{E}$에 영향을 미치기 때문이다.
그러나 전하는 지금까지 알려진 것으로는 $e = 1.60 *10^{-19}C$ 보다 작아질 수 없다.

시험전하가 전기장 형성의 근원 전하 분포량에 비해 충분히 작다면 차이가 없을 것임.

> Fundamental Postulates in free space, 자유공간 정전기장의 기본 가정

미분형

$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
: $\rho$가 $0$이 아니면 정전기장의 전기장 세기가 회전성을 갖지 않음을 의미
번역판의 의미가 이해되지 않아서 찾아봤는데, 영문판에서는 $\rho$가 $0$이 아니면 non solenoidal 이란다.

Solenoidal = divergenceless

$\nabla \times\mathbf{E}=0$
: 전기장 세기의 비회전성을 상징.

$\rho$는 체적밀도, $\epsilon_0$는 자유공간에서의 유전율

실제 정전기장의 문제를 풀때는 공간상의 전하 분포에 의해 생성되는 전기장을 구하게 된다.

여기서 Q는 면 S로 둘러 싸인 공간 V에 포함되어 있는 모든 전하의 합이다.

가우스의 법칙; 왼쪽 결과 식
물리적인 의미: 자유공간 내 임의의 닫힌 공간에서 외부로 발산되는 모든 전기장의 세기의 합은 그 공간 내부의 총 전하량을 유전상수로 나눈 값과 같다.

경로와 무관; 오른 쪽 결과 식
$\mathbf{E}$가 비회전성(보존) 벡터임을 의미함.
결과 값이 경로에 상관없이 오직 시작과 끝점에 의해서만 결정됨.

벡터장이 Curl-free이면 벡터가 보존장이다. 그 벡터장은 스칼라장의 변화율로 표시할 수 있다. 나중에 배우겠지만 다음과 같은 식이 성립한다.
$\mathbf{E}=-\nabla V$

Two Null Identity 중 하나인
$\nabla\times(\nabla V)\equiv0$
모든 스칼라장에 대한 변화율의 회전은 항상 0이다. 를 역으로 서술하면 된다.

총 정리

Curl-free Vector field = Conservative