정전기장 3-3, 3-4 가우스의 법칙, 전하 분포

• 쿨롱 법칙
• 가우스의 법칙과 응용

>무한 자유공간에 점전하가 정지되어 있는 경우

반지름이 R인 가상의 구면을 생각해 본다.
점전하 구조는 방향성이 없기 때문에 가상의 구면상에서 모든 위치에서 같은 크기의 $\mathbf{E}$값이 방사형으로 분포할 것이다.
(A point charge has no prefered direction : symmetry)

$\mathbf{E}$ 와 $d\mathbf{s}$의 방향이 같기 때문에 다음과 같다.

$\oint_s\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} =\oint_s(\mathbf{\mathbf{a_R}}E_R)\cdot\mathbf{a_R}d\mathbf{s}=\frac{\rho}{\epsilon_o}$

$E_R\oint_sds =E_R(4\pi R^2)= \frac{\rho}{\epsilon_o}$

$\oint_sds =4\pi R^2$ (구의 겉넓이, 구좌표계로 적분해보면 금방 나옴, hint: ds=$R^2$sin$\theta$d$\theta$d$\phi$)

임의의 공간좌표 P의 위치벡터가 $\mathbf{R}$이라고 하면,

쿨롱의 법칙

$\displaystyle\mathbf{E}=\mathbf{a}_R\frac{q}{4\pi\epsilon_0R^2}$

$\mathbf{E}_P=\frac{q(\mathbf{R-R'})} {4\pi\epsilon_0|\mathbf{R-R'}|^3}$ [V/m]

위치벡터를 풀어서 분모에 세제곱으로 사용함.
Convention
prime: Source Point
prime x: Field Point

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The Principle of Superposition

이산 전하그룹에 의한 전기장
임의의 지점에서 총 전기장 $\mathbf{E}$의 크기는 각각의 독립된 전하에 의해서 발생되는 전기장의 크기의 벡터의 합과 같다

$\displaystyle\mathbf{E}=\sum_{k=1}^{n} \frac{q(\mathbf{R-R'_k})} {4\pi\epsilon_0|\mathbf{R-R'_k}|^3}$

연속적인 전하 분포에 의한 전기장

Electric Field due to a continuous charge distribution

각 미소 전하는 점전하로 간주할 수 있고 전하는 공간 좌표의 함수이다.
미소 공간에 의한 P에서의 전기장의 세기를 구할 수 있다.
미소 체적에 대한 경우 : $\displaystyle d\mathbf{E}=\mathbf{a}_R \frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R^2}$

쿨롱의 법칙
$\mathbf{E(r)}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int dv'\frac{\rho(\mathbf{r'}) (\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}$