문제

두 자연수 A와 B에 대해서, A의 배수이면서 B의 배수인 자연수를 A와 B의 공배수라고 한다. 이런 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수라고 한다. 예를 들어, 6과 15의 공배수는 30, 60, 90등이 있으며, 최소 공배수는 30이다.두 자연수 A와 B가 주어졌을 때, A와 B의 최소공배수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T(1 ≤ T ≤ 1,000)가 주어진다. 둘째 줄부터 T개의 줄에 걸쳐서 A와 B가 주어진다. (1 ≤ A, B ≤ 45,000)

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출력

첫째 줄부터 T개의 줄에 A와 B의 최소공배수를 입력받은 순서대로 한 줄에 하나씩 출력한다.

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풀이

유클리드 호제법으로 최대 공약수 구한 뒤 두 수의 곱 / 최대공약수(GCD) = 최소공배수(LCM)

유클리드 호제법이란?

• 최대공약수를 빠르게 구하는 방법
• 자연수 a,b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 한다면 a,b의 최대공약수와 b,r의 최대공약수는 같다. 이 성질에 따라 a를 b로 나눈 나머지 r을 구하고, b를 r로 나눈 나머지 r'을 구한다.
  나머지가 0이 될때 나눈 수가 a,b의 최대공약수가 된다.
  즉, GCD(a,b) = GCD(b,r)
• r = a%b
• a%b에서 a<b일경우 a%b = a

ex) 60, 48 의 최대공약수

60 % 48 = 12
48 % 12 = 0 // 최대 공약수 : 12
최소 공배수 : (60 ✕ 48) / 12 = 240

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최대 공약수 구하기(재귀문)

public static int gcd(int A, int B) { 
        if (B == 0) { // GCD(a, b) = GCD(b, r)이므로 (r = a % b)
            return A;
        }else {
            return gcd(B, A % B);
        }
    }

최소 공배수 구하기

A * B / gcd(A,B)

최소공배수

• 줄여서 LCM
• 두 수의 최소 공배수는 두 수의 공통된 배수 중에서 가장 작은 정수
• GCD를 응용해서 구함. (최대공약수를 구해준 뒤 입력받은 두 수의 곱에서 최대공약수를 나눠줌)
• 두 수 a, b의 최대공약수를 g라고 하면, 최소공배수와 최대공약수의 곱은 두 수의 곱과 같다.

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전체 코드

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Main1 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int A = sc.nextInt();
            int B = sc.nextInt();
            System.out.println(A * B / gcd(A,B));
        }
    }
    public static int gcd(int A, int B) {
        if (B == 0) {
            return A;
        }else {
            return gcd(B, A % B);
        }
    }
}