용어

모수

표본공간(Sample Space)
S, 관찰 가능한 모든 결과의 집합

사건(Event)
A, B..., 표본공간의 임의의 부분집합

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확률의 성질

확률의 공리

• 임의의 사건 A에 대하여 P(A) ≥ 0
• P(S) = 1
• 표본공간 S에 정의된 서로 상호 배반인 사건 A1, A2 ... 등은 P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = P(A1) + P(A2) + ...

• 여사건
  P(A$^c$) = 1 - P(A)

• 곱사건
  P(A ∩ B)

• 합사건
  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩ B)

• 조건부 확률
  A와 B가 표본공간 S 상에 정의되어 있으면 P(B) > 0라고 가정하고, 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률
  P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

• 독립사건
  P(A | B) = P(A) 또는 P(B | A) = P(B) 또는 P(A ∩ B) = P(A) * P(B)를 만족시키면서 P(A) > 0, P(B) > 0인 경우

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베이즈 정리

결과가 주어져있을 때 원인의 확률을 구하는 공식

P(결과(A) | 원인(B$_n$) => P(원인 | 결과)

표본공간의 분할 조건을 만족할 때 사건 A가 일어났을 때 사건 B$_i$가 일어날 확률
P(B$_i$ | A) = P(A ∩ B$_i$) / P(A)
P(B$_i$ | A) = $\frac{P(B_i)P(A | B_i)}{P(B_1)(A|B_1) + P(B_2)(A|B_2) ...+ P(B_n)P(A|B_n)}$

표본공간의 분할
서로 다른 i, j 에 대하여 B$_i$ ∩ B$_j$ = ∅(상호배반)일 때 B$_1$ ∪ B$_2$ ... ∪ B$_n$ = S

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|           /         /\          |
|  B1     /    B3   /   \    B5   |
|       / \       /      \        |
|     / B2 \    /   B4    \       |
|___/_______\_/____________\______|

전확률공식
표본공간의 분할 조건을 만족할 때 S에서 정의되는 임의의 사건 A
P(A) = P(A ∩ B$_1$) + P(A ∩ B$_2$) ... + P(A ∩ B$_n$)
P(A) = P(B$_1$)P(A | B$_1$) + P(B$_2$)P(A | B$_2$) ... + P(B$_n$)P(A | B$_n$)

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