그람-슈미트 직교화 - Gram-Schmidt Orthogonalization

사영 - Projection

$\mathbf{w_1,w_2,...,w_r}$이 $V$의 비영벡터 직교 집합을 형성한다.
벡터 $\mathbf v \in V$가 있다고 하자.

$c_1=\frac{\mathbf{<v,w_1>}}{\mathbf{<w_1,w_1>}}, c_2=\frac{\mathbf{<v,w_2>}}{\mathbf{<w_2,w_2>}},\cdots,c_r=\frac{\mathbf{<v,w_r>}}{\mathbf{<w_r,w_r>}}$일 때,

$\mathbf{v}^\prime=\mathbf{v}-(c_1\mathbf{w_1}+c_2\mathbf{w_2}+\cdots +c_r\mathbf{w_r})$을 정의한다.

그러면 $\mathbf{v^{\prime}}$은 $\mathbf{w_1,w_2,...,w_r}$에 직교한다.

그람-슈미트 직교화(과정) - Gram-Schmidt Orthogonalization

그람-슈미트 직교화는 유한 차원 내적 공간의 기저로부터 정규 직교 기저를 얻는 과정이다.

그람-슈미트 과정
1. 적용하려는 내적 공간의 기저와 직교하는 직교 기저를 사영한다.
$\mathbf v_k=\mathbf x_k-(\mathbf{\alpha_1 v_1+\alpha_2 \mathbf v_2+\cdots+\alpha_{k-1}v_{k-1}})$
2. 사영된 직교 기저들을 정규화 한다.

예제로 이해하기

예제.

$\mathbf v_1=(1,1,1,1),\ \mathbf v_2=(1,2,4,5),\ \mathbf v_3=(1,-3,-4,-2)$에 의해 생성되는 $\mathbb R^4$의 부분공간 $U$의 직교 기저와 정규 직교 기저를 구하기 위해 그람-슈미트 직교화를 적용하여라.

풀이.

$\mathbf w_1=\mathbf v_1=(1,1,1,1)$
$\mathbf w_2=\mathbf v_2-\frac{\mathbf{<v_2,w_1>}}{\mathbf{<w_1, w_1>}}\mathbf w_1=\mathbf{v_2-\frac{12}{4}w_1}=(-2,-1,1,2)$
$\mathbf w_3=\mathbf v_3 - \frac{\mathbf{<v_3,w_1>}}{\mathbf{<w_1,w_1>}}\mathbf w_1-\frac{\mathbf{<v_3,w_2>}}{\mathbf{<w_2,w_2>}}\mathbf w_2=(\frac{8}{5},-\frac{17}{10},-\frac{13}{10},\frac{7}{5}) \Rarr (16,-17,-13,14)$ (계산 편의성을 위한 스칼라 배)

$\{(1,1,1,1)^T, (-2,-1,1,2)^T, (16,-17,-13,14)^T\}$는 $U$의 직교 기저이다.

정규 직교 기저 $\{\mathbf{u_1,u_2,u_3}\}$를 구하기 위해 위 벡터들을 정규화 한다.

$\mathbf u_1 = \frac{\mathbf w_1}{||\mathbf w_1||}=\frac{1}{2}(1,1,1,1)$
$\mathbf u_2= \frac{\mathbf w_2}{||\mathbf w_2||}=\frac{1}{\sqrt{10}}(-2,-1,1,2)$
$\mathbf u_3=\frac{\mathbf w_3}{||\mathbf w_3||}=\frac{1}{\sqrt{910}}(16,-17,-13,14)$

따라서 $\{\frac{1}{2}(1,1,1,1),\frac{1}{\sqrt{10}}(-2,-1,1,2),\frac{1}{\sqrt{910}}(16,-17,-13,14)\}$는 $U$의 정규직교기저이다.

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.