대각화 - Diagonalization

대각화 - Diagonalization

정방 행렬 $A$에 대해서 적절한 정칙(nonsingular)행렬 $X$와 대각행렬 $D$가 존재하여 $A=XDX^{-1}$로 표현될 수 있으면, 이를 행렬 $A$의 대각화(diagonalization) 라고 한다.

$X$가 $A$를 대각화 한다
$\Rightarrow X^{-1}AX=D$

대각화 가능 - Diagonalizable

유한차원 벡터 공간 $V$에서의 선형 연산자 $L$에 대해서

• 어떤 기저에 대한 $L$의 행렬이 대각 행렬이며,
• $L$의 고유벡터들로 이루어진 $V$의 기저가 존재할 경우

연산자 $L$은 대각화 가능하다.

정방 행렬 $A$에 대해서

• $A$가 어떤 대각 행렬 $B$에 대해 $A=UBU^{-1}$로 표현 가능하고,
• $A$의 고유벡터들로 $\mathbb R^n$의 기저를 구성할 수 있는 경우

행렬 $A$는 대각화 가능하다.

이 때, 행렬 $U$는 $A$의 고유 벡터를 열로 가지는 행렬이고,

행렬 $B$는 다음과 같다.

$B=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2 &&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_r\end{pmatrix}$

$(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_r>0\ \mathsf{and}\ r=\mathsf{rank}(A))$

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.