정사영 - Orthogonal projection

정사영 - Orthogonal projection

정사영(orthogonal projection)은 3차원 객체를 2차원으로 표현하는 수단이다.

$V \sub \mathbb R^n$일 때, $\mathbf x \in \mathbb R^n$는
$\mathbf x = \mathbf{p+o}\ ,\quad(\mathbf p \in V$, $\mathbf o \in V^{\perp})$로 표현된다.

이 때, $\mathbf p$를 $V$에 대한 $\mathbf x$의 정사영(orthogonal projection)이라고 한다.

모든 $\mathbf p$가 아닌 $\mathbf v \in V$에 대하여,
$||\mathbf{x-v}||>||\mathbf{x-p}||$가 성립한다.
즉, 벡터 $\mathbf x$와 평면 $V$의 최소 거리는 $\mathbf x$와 $\mathbf p$의 거리와 같다.

$||\mathbf o|| = ||\mathbf{x-p}||=\min_{\mathbf v \in V}||\mathbf{x-v}||$ 이므로 $\mathbf o$의 길이는 $\mathbf x$와 $V$의 최소 거리와 같다.

벡터에 대한 정사영 - Orthogonal projection onto a vector

벡터 $\mathbf{x,\ y}\in \mathbb R^n,\;\;(\mathbf{y} \ne \mathbf{0})$가 있다.
이 때 $\mathbf y$와 평행한 정사영 $\mathbf p$와 $\mathbf y$와 직교인 $\mathbf o$가 존재하고,
벡터 $\mathbf x$는 $\mathbf {x=p+o}$로 표현된다.

$\mathbf {p} \parallel \mathbf y$이므로 $\mathbf p = \alpha \mathbf y\quad(\alpha\in\mathbb R)$이다.

$0=\mathbf{o\cdot y}=(\mathbf{x-\alpha y})\cdot \mathbf y=\mathbf{x\cdot y - \alpha y\cdot y}\Rarr \alpha=\mathbf{\cfrac{x\cdot y}{y\cdot y}}$
이므로 벡터 $\mathbf{y}$에 대한 $\mathbf x$의 정사영 $\mathbf p$는 다음과 같다.

$\mathbf{p=\cfrac{x\cdot y}{y\cdot y}\cdot y}$

예제 풀이

예제 1.

점 $\mathbf x=(3, 1)$에서 벡터 $\mathbf y=(2,-1)$로 생성되는 선까지의 거리를 구하여라.

풀이.

분해 $\mathbf{x=p+o}$를 고려할 때, 요구되는 거리는 $\mathbf o$의 길이이다.

$\mathbf{p=\cfrac{x\cdot y}{y\cdot y}\cdot y}=\cfrac{6-1}{4+1}\cdot(2, -1)=(2, -1)$,
$\mathbf{o=x-p}=(3, 1)-(2,-1)=(1,2)$

$||\mathbf o||=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

그러므로 벡터 $\mathbf x$에서 $\mathsf{Span}(\mathbf y)$까지의 거리는 $\sqrt 5$이다.

예제 2.

선 $\mathbf{y=-x}$위의 점 중 점 $(3, 4)$와 가장 가까운 점을 구하여라.

풀이.

선 $\mathbf{y=-x}$는 벡터 $\mathbf w=(1, -1)$에 의해 생성된다.

따라서 벡터 $\mathbf w=(1, -1)$에 대한 $\mathbf v=(3,4)$의 정사영을 구하면 원하는 점의 좌표를 알 수 있다.

$\mathbf{p=\cfrac{v\cdot w}{w\cdot w}\cdot w}=\cfrac{3-4}{1+1}\cdot(1,-1)=(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

그러므로 $\mathbf{y=-x}$ 위의 점 중 점 $(3,4)$와 가장 가까운 점은 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$다.

예제 3.

$\Pi$는 벡터 $\mathbf v_1=(1,1,0)$, $\mathbf v_2=(0,1,1)$에 의해서 생성되는 평면이다.
ⅰ) 평면 $\Pi$에 대한 벡터 $\mathbf x=(4,0,-1)$의 정사영을 구하여라.
ⅱ) 벡터 $\mathbf x$에서 평면 $\Pi$까지의 거리를 구하여라.

풀이

벡터 $\mathbf x$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$\mathbf{x=p+o},\ \ \mathsf{where}\ \mathbf p \in \Pi\ \mathsf{and}\ \mathbf o\perp\Pi$

$\Pi$에 대한 $\mathbf x$의 정사영은 $\mathbf p$이고, $\mathbf x$에서 $\Pi$까지의 거리는 $||\mathbf o||$이다.

$\mathbf p=\mathbf{\alpha v_1+\beta v_2},\quad \alpha,\ \beta \in \mathbb R$
$\mathbf{o=x-p=x-\alpha v_1-\beta v_2}$

$\mathbf o \perp \Pi$ 이므로,

$\begin{cases}\mathbf{o\cdot v_1}=0\\\mathbf{o\cdot v_2}=0\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}\mathbf{(x-\alpha v_1-\beta v_2)\cdot v_1 = x\cdot v_1-\alpha(v_1\cdot v_1)-\beta (v_1\cdot v_2)}=0\\\mathbf{(x-\alpha v_1-\beta v_2)\cdot v_1 = x\cdot v_1-\alpha(v_1\cdot v_2)-\beta (v_2\cdot v_2)}=0\end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}\mathbf{\alpha(v_1\cdot v_1)-\beta(v_1\cdot v_2)=x\cdot v_1}\\\mathbf{\alpha(v_1\cdot v_2)-\beta(v_2\cdot v_2)=x\cdot v_2}\end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}2\alpha+\beta=4\\\alpha+2\beta=-1\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}\alpha=3\\\beta=-2\end{cases}$

$\mathbf{p=3v_1-2v_2}=(3,1,-2),\ \mathbf{o=x-p}=(1,-1,1)$

$||\mathbf o||=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

그러므로 $\Pi$에 대한 벡터 $\mathbf x$의 정사영은 $(1,-1,1)$이고,
벡터 $\mathbf x$에서 평면 $\Pi$까지의 거리는 $\sqrt{3}$이다.

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<참고자료>
Steve J. Leon, Linear Algebra with Application, 10th edition, 2021.