#9 위상 정렬

위상 정렬

- 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미 - 예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
  - 자료구조 -> 알고리즘 -> 고급 알고리즘

진입차수와 진출차수

- 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수 - 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

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위상 정렬 알고리즘

- 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정 - 1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음 - 2. 큐가 빌 때까지 반복 - 1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거 - 2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣음 - 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같음

동작 예시

• 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프여야 함
  

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣음
   

• 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤 노드 1에서 나가는 간선 제거 -> 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입

• 큐에서 노드 2를 꺼낸 뒤 노드 2에서 나가는 간선 제거 -> 새롭게 진입 차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입

• 큐에서 5를 꺼낸 뒤 노드 5에서 나가는 간선 제거 -> 새롭게 진입차수가 0이 된 노드 삽입

• 결과: 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

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특징

• 순환하지 않는 방향 그래프에 대해서만 수행 가능
• 여러가지 답이 존재할 수 있음 -> 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 답이 여러가지
• 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있음 -> 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다
• 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있음

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Python 구현

from collections import deque

# 노드 개수, 간선 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())

# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v+1)

# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    indegree[b] += 1 # 진입 차수 1 증가

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = []
    q = deque()

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()


# 7 8
# 1 2
# 1 5
# 2 3
# 2 6
# 3 4
# 4 7
# 5 6
# 6 4

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알고리즘 성능 분석

• 파례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거
• 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V+E) 이다