[게임 수학] 다양한 좌표 공간 (Multiple Coordinate Spaces)

구교승·2025년 2월 26일

게임 수학 기저 벡터 선형 변환 아핀 변환 업라이트 공간 오브젝트 공간 월드 공간 좌표계 좌표공간 변환 중첩 좌표 공간 카메라 공간

[게임 수학]

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게임에서 사용되는 좌표계

Object Space (Local Space, 오브젝트 공간)

특정 오브젝트만을 그리기 위한 정점 정보가 포함된 공간
하나의 공간에 오브젝트(물체, 캐릭터 등) 하나만 원점에 두어서 물체를 그린 공간
보통 오브젝트 공간에서는 오브젝트 공간의 방향 기준을 정하기 위해 임의로 방향 지정
ex) 사람을 기준으로 한다면 사람 한명이 중심이라 가정, 각각의 사람이 하나의 오브젝트 공간의 주인공
오브젝트 공간에서의 움직임 : 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤 등으로 이동 지시
월드 공간에서의 움직임 : 북쪽, 서쪽, 동쪽, 남쪽 등으로 이동 지시

World Space (월드 공간)

현실 세계의 주소는 우리나라 안에서 절대적인 위치 표현
지구상에서의 원점은 영국의 그리니치 천문대 위치 기준
어디서든지 공통적으로 사용하는 약속된 좌표계
모든 물체들이 모이는 하나의 공간이라 정의

Camera Space (카메라 공간)

오브젝트가 (0, 0, 0)의 원점에 있다는 것이 오브젝트 공간이 아니라 카메라 공간
바라보는 사람과 오브젝트 전부 원점에 있다면 물체는 같은 위치에 있기에 보이지 않아야함
카메라 공간을 변환함에 있어 3D 카메라 공간(Projection) 또는 2D 카메라 공간 (Orthogonal)으로 변환할때 프로젝션이라는 변환 과정 필요

Upright Space (업라이트 공간)

3D 그래픽스에서 'Upright Space'는 일반적으로 월드 좌표계와 오브젝트 공간 사이에 존재
월드 공간에서의 수직 방향과 같은 축
오브젝트 공간에서 업라이트 공간으로 변환하는 데에는 물체의 회전 정보만 필요
업라이트 공간에서 월드 공간으로의 변환은 축을 재정립

월드 좌표계와 Upright Space

월드 좌표계에서는 X, Y, Z 세 축을 사용해 공간 정의
대부분의 3D엔진 및 툴에서는 Y축이 수직을 나타내는 것이 일반적 (Y-Up)
이 경우 업라이트 공간은 Y축을 따라 정렬된 공간 또는 오브젝트
ex) 캐릭터나 오브젝트가 Y축을 기준으로 서 있다면 upright하게 배치된 것으로 간주, 게임 엔진에서 업라이트 공간을 고려해 물체를 배치 및 회전시 물체가 Y축을 따라 정렬되어 있는지 확인 필요
일부 시스템에서는 Z축이 수직을 나타내기도 하므로 업라이트 공간의 정의는 사용되는 좌표계의 관습에 따라 변동 가능

Basis Vectors and Coordinate Space Transform (기저 벡터와 좌표공간 변환)

Coordinate Space Transformation (좌표공간 변환)

물체 랜더링시 조명에 의한 명암을 계산할때 오브젝트 공간 내에서가 아닌 물체를 월드에 배치시켜서 계산해야 함
따라서 월드에서의 빛의 위치를 알아야 함
결국 오브젝트 공간에서 월드 공간으로의 좌표변환이 가능해야함

ex) 로봇 이동
목표는 로봇의 정점들을 새로운 위치로 변환하는 것
로봇을 부엌으로 이동시키려면 제자리에서 120도 회전
우측 위 방향으로 이동, [18, 0, 10]
통상적으로 이동 후 회전이 자연스러워 보이나, 회전을 먼저 진행해 주는 것이 더 이해하기 좋음
물체를 회전할때 회전 중심은 원점
이동 이후 회전시 원점이 아닌 점을 중심으로 회전하므로 복잡한 계산 과정 필요 ([1, 0]에서 180° 회전시 [-1, 0]이 되므로 이동하는 추가 연산 필요)
그 이유는 원점에서의 회전은 원점에 대한 선형 변환, 원점이 축이 아닌 회전은 아핀 변환이기도 하기 때문
Linear Transform (선형 변환)
- 선형 변환은 원점을 그대로 유지하면서 벡터를 다른 벡터로 변환하는 과정
- 주어진 벡터에 대해 회전, 스케일링(확대/축소), 반사 등 수행 가능
- 원점이 그대로 유지
- 직선은 직선으로, 평면은 평면으로 변환
- 선형 변환에는 이동(Translation)이 포함되지 않음
Affine Transform (아핀 변환)
- 선형 변환에 이동을 추가한 변환
- 좌표를 이동시킬 수 있기 때문에 더 일반적인 변환
- 이동을 포함하기 때문에 원점이 다른 위치로 이동할 수 있음
- 직선은 직선으로 평면은 평면으로 변환되지만 위치가 바뀔 수 있음
- 선형 변환의 모든 특성을 포함하며 더 일반적
주요 차이점
- 원점 : 선형 변환은 원점을 이동시키지 않으나, 아핀 변환은 원점을 다른 위치로 이동시킬 수 있음
- 수학적 표현 : 선형 변환은 단순 행렬곱, 아핀 변환은 행렬곱 + 벡터 덧셈
- 적용 범위 : 선형 변환은 회전, 스케일링, 반사 등의 변환만 가능, 아핀 변환은 앞선 모든것 + 이동
원점이 아닌 상태에서의 회전은 회전의 중심을 원점으로 두고 회전 이후 다시 해당 위치로 변환
ex) 물체를 원점으로 이동, 원점에서 회전, 기존 위치로 재이동
올바른 위치로 이동시켰다해도 월드 공간에서의 원점을 중심으로 물체가 배치된 상태
우리가 보는 눈(카메라)에서의 원점으로 선형 변환 필요
카메라 공간 변환
- 카메라가 원점으로 이동한 거리만큼 모든 물체들을 이동
  => 카메라가 원점에 존재하게 되어 월드 공간과 카메라 공간이 동일해짐
- 물체 이동과 반대로 이동 이후 회전
  => 원점을 기준으로 회전했을 경우 연산이 더 쉽기 때문
- 최종적으로 프로젝션 화면으로 변환 필요
여기서 카메라 뷰와 객체의 위치 및 방향을 처리하는 두가지 방법
Absolute Perspective (절대적 관점)
- 객체나 카메라의 위치와 방향을 전역 좌표계(Global Coordinate System) 기준으로 처리
- 전역 좌표계는 씬 전체에 걸쳐 고정, 모든 객체와 카메라는 좌표계를 기준으로 위치, 방향 계산
- 특징
  - 일관된 관계 : 모든 객체의 위치와 방향이 하나의 전역 좌표계를 기준으로 계산되므로 위치와 방향이 명확하고 일관된 관계를 갖음
  - 고정된 기준 : 객체가 이동하거나 회전한다 하더라도 전체적인 장면 내에서의 위치가 명확
  - 예시 : 3D에서 카메라가 고정된 위치에서 씬 전체를 관찰하는 경우 또는 특정 객체가 씬의 중심을 기준으로 이동하는 경우
- 응용 사례
  - 전체 씬의 배치, 월드 빌딩, 전역적 조명 계산 등 씬의 전반적인 구조를 고려해야하는 작업에서 유용
- 장점
  - 씬의 전체적인 구조와 일관성을 유지하기 쉬움
  - 복잡한 씬에서 객체의 위치를 명확하게 파악 가능
- 단점
  - 객체간의 관계를 처리할때 유연성이 떨어질 수 있음
  - 로컬 변환을 처리하기 복잡할 수 있음
Local Perspective (지역적 관점)
- 객체나 카메라의 위치와 방향을 그 객체의 로컬 좌표계(Local Coordinate Space) 기준으로 처리
- 로컬 좌표계는 객체 자체에 따라 이동, 객체의 이동이나 회전에 따라 좌표계도 함께 변화
- 특징
  - 상대적 관계 : 객체 간의 위치와 방향이 각각의 로컬 좌표계에 따라 정의되므로 객체간의 관계를 상대적으로 이해
  - 유연한 변환 : 객체가 이동 및 회전시 로컬 좌표계도 이동하므로 객체간의 관계를 보다 유연하게 조작 가능
  - 예시 : 캐릭터가 자신을 기준으로 주변을 탐색하는 경우, 팔이 몸체를 기준으로 움직이는 경우
- 응용 사례
  - 개별 객체의 애니메이션, 복합적인 상호작용, 객체 내부의 세부적인 움직임을 처리할때 유용
- 장점
  - 객체간의 상대적인 움직임 처리에 용이
  - 애니메이션과 상호작용을 자연스럽게 구현 가능
- 단점
  - 전역적인 씬 구성에서 일관성을 유지하기 어려움
  - 로컬 좌표계를 이해하지 못하면 복잡해짐
작업의 성격에 따라 두 관점을 적절히 사용해야 함

Basis Vector (기저 벡터)

로봇의 어깨에 부착된 광원의 빛 계산을 위해 라이트의 월드 좌표를 구해야한다 가정
로봇을 중점으로 두고 오른쪽 어깨가 (-1, 5)만큼 떨어져 있을때의 월드 좌표 계산
단계 분리
1. 로봇의 좌표는 (4.5, 1.5)
2. 로봇의 기준에서 어깨 좌표는 (-1, 5)
3. 로봇 좌표계 기준으로 길이가 1인 right 방향 벡터는 [0.87, 0.5], up 방향 벡터는 [-0.5, 0.87]
4. (4.5, 1.5) + (-1) X [0.87, 0.5] + 5 X [-0.5, 0.87] = (1.13, 5.53)
o는 물체의 좌표, b는 어깨가 위치한 좌표
p는 물체 기준 오른쪽을 바라보는 월드 공간에서의 단위 벡터, q는 위쪽을 바라보는 월드 공간에서의 단위 벡터로 정의
최종 월드 좌표(w)는 w = o + bxp + byq로 표현
이를 이용해 3차원 좌표를 더욱 간단하게 v = xp + yq + zr로 도출 가능
p, q, r은 3차원 공간에서 기준이 되는 기저 벡터
기저 벡터 : 각 공간에서의 방향 기준을 정해주는 벡터
공통적으로 3차원 공간에서 p = [1,0,0], q = [0,1,0], r = [0,0,1]이 기저 벡터
기준이 어디인지에 따라 p, q, r이 다른 값을 갖기도 함
좌표 공간은 기저 벡터가 바뀌면 변환됨
이 과정은 선형 변환과 관련이 있으며, 새로운 기저로 변환된 좌표는 원래 벡터와 동일한 공간 내에서 표현되지만 다른 좌표계를 사용
- 기저 벡터 : 벡터 공간의 차원 정의, 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립적인 벡터 집합
- 좌표공간 : 주어진 기저 벡터에 따라 벡터를 표현하는 방법, 벡터의 성분을 나타냄
- 벡터의 좌표 : 기저 벡터의 선택에 따라 달라짐, 기저가 바뀌면 좌표도 변환
기저 벡터간에 수직을 이루는 벡터를 직교 기저 벡터
- 직교 기저를 사용하면 벡터의 분해와 재구성이 쉬워지며 계산이 간편해짐
- 직교 기저 벡터를 구하는 방법으로는 그람-슈미트 등

Nested Coordinate Space (중첩 좌표 공간)

3D 공간에서 3D모델은 오브젝트 공간에 생성
게임 공간에 배치하기 위해서는 각 점들을 월드 공간으로 배치해야 물체끼리의 상호작용이 가능
여러 좌표계를 동시에 계산할 수 있도록 중첩시켜 갖고 있는게 계산에 유리
ex) 빛의 세기 계산시 카메라 좌표 이용, 애니메이션 관련 계산시 오브젝트 좌표 이용

참고 및 출처:
게임 개발을 위한 수학