[백준] 17626 Four Squares

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 $5^2$과 $1^2$의 합이다; 또한 $4^2$ + $3^2$ + $1^2$으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = $125^2$ + $6^2$ + $1^2$ + $1^2$라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = $105^2$ + $15^2$ + $8^2$ + $5^2$.
자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

내 풀이

n = int(input())

dp = [0]*(n+1)

k = 1
while k**2 <= n:
    dp[k**2] = 1
    k += 1
    
for i in range(1, n+1):
    j = 1
    while j**2 <= i:
        if dp[i] == 0:
            dp[i] = dp[j**2] + dp[i-j**2]
        else:
            dp[i] = min(dp[i], dp[j**2]+dp[i-j**2])
        j += 1
        
print(dp[n])

다만 위의 풀이는 python3로 제출하면 시간 초과가 뜨고 PyPy3로 제출해야 정답을 받을 수 있다.

코멘트

처음에는 sqrt를 이용해서 실제로 어떤 제곱수로 이루어졌는지 주어진 수에서 빼보면서 찾는 방식으로 풀었다. (참고로 numpy를 이용하면 ModuleNotFoundError가 뜨고 math는 괜찮았다.) 그런데 정확하지 않은 풀이인지 오답을 받았고 알고보니 이 유형은 DP 문제였다. 위와 같이 n을 이루는 제곱수의 수를 의미하는 dp 배열을 선언한 후 제곱수는 미리 1로 설정해둔다. 그리고 12처럼 둘 이상의 제곱 수로 이루어진 수는 while j**2 <= i 반복문을 돌리면서 dp[12] = dp[1] + dp[11]와 같이 dp의 값을 구하고 그 수들 중 최솟값을 찾기 위해 dp[i] = min(dp[i], dp[j**2]+dp[i-j**2]를 해준다. 다만 이 풀이도 여전히 python3을 이용하면 시간 초과가 일어나고 pypy3로 풀어야 했다.

이 문제는 브루트포스(가능한 모든 경우의 수 탐색)로도 풀 수 있다.

import math

n = int(input())

def is_square(num):
    if math.sqrt(num) == int(math.sqrt(num)):
        return True
    else:
        return False
        
no = 4   # maximum 4 squares
if is_square(n)==True:
    no = 1
else:
    for i in range(int(math.sqrt(n)), 0, -1):
        if is_square(n-i**2)==True:
            no = 2
            break
        else:
            for j in range(int(math.sqrt(n-i**2)), 0, -1):
                if is_square(n-i**2-j**2)==True:
                        no = 3
                        break
           
print(no)

References

https://www.acmicpc.net/problem/17626
https://aia1235.tistory.com/34
https://sdsf1225.tistory.com/70