[TOPOL] 2.1 General Topological Spaces: Definition

Daeho Kwon·2024년 3월 17일
Topology

[TOPOL] Topology

목록 보기
3/4
post-thumbnail

1: Definition

Set XX에서 다음 조건을 만족하는 모든 T∈X\mathcal{T}\in X를 topology on XX라고 한다.
T1) ∅,X∈T\emptyset, X \in \mathcal{T}
T2) Ui∈T,i∈I⇒⋃i∈IUi∈TU_i \in \mathcal{T}, i \in I \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i \in \mathcal{T}
T3) U1,⋯ ,Uk∈T⇒U1∩⋯∩Uk∈TU_1,\cdots,U_k\in \mathcal{T} \Rightarrow U_1\cap \cdots \cap U_k \in \mathcal{T}
T2)는 임의의 T\mathcal{T}의 element들의 union이 다시 T\mathcal{T}에 속한다.
T3)는 임의의 T\mathcal{T}의 element들의 intersection이 다시 T\mathcal{T}에 속한다.

1.1: Example (indiscrete topology)

Set XX에 대해 T={∅,X}\mathcal{T}=\{\emptyset,X\}라는 space가 있다고 하자.
이 space는 T1~T3를 만족하기 때문에 Topological space이다.

T1) Obvious!
T2) ∅∈T,X∈T,∅∪X=X∈T\emptyset \in \mathcal{T}, \quad X \in \mathcal{T}, \quad\emptyset \cup X = X \in \mathcal{T}
T3) ∅∈T,X∈T,∅∩X=∅∈T\emptyset \in \mathcal{T}, \quad X \in \mathcal{T}, \quad\emptyset \cap X = \emptyset \in \mathcal{T}

이 T\mathcal{T}는 특별히 indiscrete topology라고 하고, (X,T)(X,\mathcal{T})는 indiscrete topological space라고 한다. open set을 이용해 어떤 element xx를 떼어내려면 universal set XX를 모두 가져와야하는 경우에 해당한다. 이 개념을 좀 더 명확하기 이해하기 위해선 discrete topology를 살펴보면 된다.

1.2: Example (discrete topology)

Set X={α,β,γ}X=\{\alpha, \beta, \gamma\}의 모든 subset으로 이루어진 T={∅,{α},{β},{γ},{α,β},{β,γ},{α,γ},X}\mathcal{T} = \{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\gamma\}, \{\alpha, \beta\}, \{\beta, \gamma\}, \{\alpha, \gamma\}, X\}도 1~T3를 만족하므로 Topology이다.
이러한 topology을 discrete topology라고 하며, 이 topology으로 구성된 topological space를 discrete topological space라고 한다. 이때는 indiscrete topology와 반대로 open set을 이용해 어떤 element xx를 떼어내려면 다른 element를 건드리지 않는 open set {x}\{x\}를 그대로 가져올 수 있다는 의미이다.
예를 들어, set XX에 속한 아무 element를 또는 proper subset이 모두 T\mathcal{T}에 포함되어 있다는 의미이고, 만약 indiscrete topology는 반대로 set XX에 속한 아무 element를 또는 proper subset이 전혀 T\mathcal{T}에 포함되어있지 않다는 의미다.

1.3: Definition

앞선 설명에서 "open set"이라는 표현을 사용했는데, 이를 이해하기 위해선 standard topology를 정의해야한다.
다음 set을 standard topology on R\mathbb{R}라고 한다.

Tstd:={U⊂R∣U=⋃i∈I(ai,bi)}∪{∅,R}\mathcal{T}_{std}:=\Big\{U\subset \mathbb{R}\quad \vert \quad U = \bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)\Big\} \cup\{\empty, \mathbb{R} \}

Tstd\mathcal{T}_{std}는 특정 open interval들의 union + universal set + 공empty set을 모두 포함한다.
이런 set의 element는 특별히 open set이라고 한다.

element가 어떻게 set이냐 할 수 있겠다. 정리하자면
empty set? open set!
universal set R\mathbb{R}? open set!
특정 open interval들의 union? open set!
이들로 이루어진 T\mathcal{T}? standard topology!

open set에 대한 자세한 내용은 다음에 설명한다.

1.4: Example

Set XX의 subset U1,⋯U_1,\cdots이 Ui+1⊂UiU_{i+1}\subset U_i를 만족하는 경우를 생각해보자.
이때, T={∅,X,U1,⋯ }\mathcal{T} = \{\empty, X, U_1, \cdots\}는 topology on XX이다.
예를들면, X={α,β,γ}X=\{\alpha, \beta, \gamma\}에서 U1={α,β}U_1 = \{\alpha, \beta\}, U2={α}U_2 = \{\alpha\}인 경우엔 U2⊂U1U_2\subset U_1이다. T={∅,X,{α,β},{α}}\mathcal{T} = \{\empty, X, \{\alpha, \beta\}, \{\alpha\}\}는 topology on XX이다.

T1) obvious!
T2) {α}\{\alpha\},{α,β}∈T\{\alpha, \beta\} \in \mathcal{T} ⇒\Rightarrow {α}∪{α,β}={α,β}∈T\{\alpha\}\cup\{\alpha, \beta\}=\{\alpha, \beta\} \in \mathcal{T} (다른 경우는 명백하다)
T3) {α}\{\alpha\},{α,β}∈T\{\alpha, \beta\} \in \mathcal{T} ⇒\Rightarrow {α}∩{α,β}={α}∈T\{\alpha\}\cap\{\alpha, \beta\}=\{\alpha\} \in \mathcal{T} (다른 경우는 명백하다)

1.5: Example (topology of finite sets)

앞서 set X={α,β,γ}X=\{\alpha, \beta, \gamma \}에서 다양한 topology을 정의했다.
discrete topology: T={∅,{α},{β},{γ},{α,β},{β,γ},{α,γ},X}\mathcal{T} = \{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\gamma\}, \{\alpha, \beta\}, \{\beta, \gamma\}, \{\alpha, \gamma\}, X\}
indiscrete topology: T={∅,X}\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}
standard topology: Tstd={∅,X,{α,β},{α},{β}}\mathcal{T}_{std} = \{\empty, X, \{\alpha, \beta \}, \{\alpha\}, \{\beta\}\} (standard topology의 예시 중 한 가지이다.)
...
이 밖에도 좀 더 다양하게 topology를 만들 수 있다.
아래 set은 모두 T1~T3조건을 만족하는 topology이다.

T1={∅,X,{α}},T2={∅,X,{α},{β,γ}T3={∅,X,{α},{α,β,γ}\mathcal{T}_1 = \{\empty, X, \{\alpha\}\}, \qquad \mathcal{T}_2 = \{\empty, X, \{\alpha\}, \{\beta, \gamma\}\\ \mathcal{T}_3 = \{\empty, X, \{\alpha\}, \{\alpha, \beta, \gamma\}

하지만, ∅,X\empty, X를 포함하고 subset 몇 개를 모아놓는다고 무조건 topology가 되는 것은 아니다.

2: Definition

closed set은 open set의 complement set(여집합)이다.

2.1: Example (closed set of discrete topological space)

Set X={α,β,γ}X=\{\alpha, \beta, \gamma\}의 모든 subset으로 이루어진 T={∅,{α},{β},{γ},{α,β},{β,γ},{α,γ},X}\mathcal{T} = \{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\gamma\}, \{\alpha, \beta\}, \{\beta, \gamma\}, \{\alpha, \gamma\}, X\}의 모든 subset이 open set 이자 closed set이다.
예를들어, T\mathcal{T}에 포함된 element들이 open set이라는 것은 명백하다. 모든 element가 standard topology의 element이기 때문이다. {α}\{\alpha\}라는 element를 가져와 보자. 이 subset의 complement set은 {β,γ}\{\beta, \gamma\}이다. 이는 다시 T\mathcal{T}에 속한다. 따라서 모든 T\mathcal{T}의 element들은 이런 과정을 거지면 전부 closed set이라는 사실을 알 수 있다.
특별한 점은 ∅\empty과 XX인데, 둘다 open set이라는 것은 명백하다. 하지만 두 set의 complement set은 정확히 반대다. ∅\empty의 complement set은 XX이고, XX의 complement set은 ∅\empty이다. 따라서 두 set은 모두 closed set이다.

정리해보자면, discrete topology의 모든 subset은 open set이면서 동시에 closed set이다!

2.2: Example

좀 더 다양한 경우를 살펴보자.
topological space (X,T)(X,\mathcal{T}) (X={a,b,c,d},T={∅,X,{a,b},{c,d}})(X=\{a,b,c,d\}, \mathcal{T} = \{\empty, X, \{a,b\}, \{c,d\}\})에서 closed set을 살펴보려면, open set을 먼저 살펴봐야한다.
이 topological space에서 open set은

∅,X,{a,b},{c,d}\empty, X, \{a,b\}, \{c,d\}

이다.
closed set은 open set의 complement set이므로,

∅c=X,Xc=∅,{a,b}c={c,d},{c,d}c={a,b}\empty^c = X,\\ X^c=\empty,\\ \{a,b\}^c = \{c,d\},\\ \{c,d\}^c = \{a,b\}

이다.
따라서 해당 topological space에서 모든 open set은 동시에 closed set이다.

Reference

이종규, 위상수학. 북스힐, 2020, p24-76

profile
Daeho Kwon
Mathematics & CSE | Soongsil University
이전 포스트

[TOPOL] 1.2 Metric Spaces: Open Ball

다음 포스트

[TOPOL] 2.2 General Topological Spaces: relation between set and element

0개의 댓글