1: Definition

$n$차원 유클리드 공간은 $(x_1, x_2, ... , x_n)$과 같이 각각의 $x_i,\quad i\in\mathbb{R}$가 실수인 길이 $n$의 순서가 있는 모든 $n-tuples$의 집합을 의미하고, $E^n$으로 표현한다.
다른 표현으론 $n$-space, real $n$-space이다.
실수는 정확히 유클리드 1-space에서 구성된다.
유클리드 2-space에선 plane이라는 표현을 사용할 수 있다.

2: Definition

1. 두개의 유클리드 $n$-space의 원소들은 다음과 같이 덧셈연산을 할 수 있다.
   $(x_1, \cdots , x_n) + (y_1, \cdots ,y_n)=(x_1+y_1, \cdots ,x_n+y_n)$
2. 만약 $a\in\mathbb{R}$($\iff \alpha\in E^n$)라면, scalar 곱은 다음과 같이 정의한다.
   $\alpha \cdot (x_1, \cdots,x_n)=(\alpha x_1, \cdots ,\alpha x_n)$
   여기서 $\alpha x_1$은 실수 $\alpha$와 실수 $x_1$의 곱셈을 의미한다.

3: Proposition

우선 $X, Y, Z, \theta \in E^n$을 다음과 같이 가정하고, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$를 가정한다.

그러면, 다음과 같은 명제가 성립한다.

a) $(X + Y)+Z = X+(Y+Z) \quad \cdots$
b) $X+\theta=X$
c) $X+Y=Y+X$
d) $X+(-1)X = \theta$
e) $(\alpha+\beta)\cdot X=\alpha \cdot X + \beta \cdot Y$
f) $\alpha \cdot(X+Y) = \alpha \cdot X + \alpha \cdot Y$
g) $(\alpha \cdot \beta)\cdot X = \alpha \cdot(\beta \cdot X)$
h) $1 \cdot X = X$

3.1: Remarks

1) $E^n$은 실수에서의 벡터공간이다.
2) 1: Definition 에서 정의한 덧셈연산은 전통적인 벡터 합과 동일하다.
3) $E^n$은 $E^1=\mathbb{R}$을 제외하고 순서에 대한 자연스러운 정의가 존재하지 않는다.
4) $\theta=(0,0,\cdots,0)$는 origin이라고 한다.

3)문장이 상당히 모호할 수 있다. 간단히 설명하자면 $E^1$에서의 임의의 두 실수 $\alpha, \beta$를 뽑아오면 두 수는
1. 같거나,
2. $\alpha<\beta$거나
3. $\alpha>\beta$이다.
이처럼 유클리드 1-space에서 두 수는 자연스럽게 순서가 정의되어 있음을 알 수 있다.
하지만 유클리드 2-space에서만 보더라도 $(a,b)$와 $(c,d)$간의 순서를 정의하는 것은 기준이 무엇이냐에 따라 다르게 정의할 수 있다.

4: Definition

만약 $X=(x_1,\cdots, x_n)$, $Y=(y_1, \cdots, y_n)$가 $E^n$의 원소라면, 우리는 두 원소 $X$, $Y$간의 distance(거리)를 다음과 같이 정의한다.

여기서 중요한 점은 $X\neq Y$이면, $d(X,Y)>0$이 성립할 때, $d(X,X)=0$이다.
그리고 $d(X,Y) = d(Y,X)$임은 명백하다.

5: Definition

만약 $X=(x_1,\cdots, x_n)$, $Y=(y_1, \cdots, y_n)$가 $E^n$의 원소라면, 두 원소 간의 inner product를 다음과 같이 정의한다.

6: Proposition

inner product는 다음과 같은 성질을 가진다.
a) $<X,Y> = <Y,X>$
b) $<X,\theta>=0,\quad \theta = (0, \cdots, 0)$
c) $<X, Y+Z> = <X, Y> + <X, Z>$
d) $\alpha<X,Y> = <\alpha X, Y> = <X, \alpha Y>$
예를 들어, 만약 $(1,2,3)$과 $(-2,5,0)$이 $E^n$ 에 속한 원소일 때,

이다.
$<X,Y>=0$은 일반적으로 $X$가 $Y$ 에 perpendicular(수직) 하다는 뜻이다.

7: Proposition

모든 $X, Y \in E^n$에 대해서,

여기서 $<X,X>=(d(X,\theta))^2 \geq 0$이다.

8: Proposition

우리는 $\lVert X \rVert=d(X,\theta)$라고 표현한다. 이것은 $X$의 길이라고 한다. 이때

이다.

8: Proof

9: Corollary

9: Proof

먼저 한 가지 사실을 알고 가야 한다.

10: Definition

집합 $X$가 주어져 있을 때, 다음을 만족하는 함수를 metric on $X$라고 한다.

M1) $d(x,y) = 0 \iff x=y$
M2) $d(x,y)=d(y,x)$
M3) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$
이러한 거리$d$가 정의된 집합$X$를 metric space라고 하고, $(X,d)$라고 표현한다.
(*여기서 표현된 $X$는 집합이고, 1번~9번에서 사용된 $X$는 특정한 하나의 $n$-tuple 이다.)

10.1: Example (Euclidean metric)

$\mathbb{R}^n$에서 유클리드 거리(Euclidean metric)는 다음과 같이 정의한다.

(*4번에서 정의한 $E^n$에서의 distance의 정의와 동일하다.)
유클리드 거리를 $L_2$거리라고도 부른다.

10.2: Example (manhattan metric)

$\mathbb{R}^n$에서 맨하탄 거리(manhattan metric)는 다음과 같이 정의한다.

맨하탄 거리는 택시 거리, $L_1$거리 라고도 부른다.

10.3: Example

$\mathbb{R}^n$에서는 $p>0$에 대해 새로운 거리를 정의할 수 있다.

앞서 유클리드 거리와 맨하탄 거리를 이제부터 설명할 새로운 거리 정의로 표현할 수 있다.
Euclidean metric: $d_2(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i-y_i)^2}, \quad x=(x_1, \cdots, x_n), y=(y_1, \cdots, y_n)$
manhattan metric: $d_1(x,y) = \sum_{i=1}^{n}\lvert x_i-y_i\rvert, \quad x=(x_1, \cdots, x_n), y=(y_1, \cdots, y_n)$

10.4: Example (supremum metric)

$\mathbb{R}^n$에서 다음과 같이 상한 거리(supremum metric)는 다음과 같이 정의한다.

이 또한 $p=\infty$인 경우라고 표현한다.

10.5: Definition

$\mathbb{R}^n$에서 $d_p$는 다음과 같은 성질을 가진다.

이런 성질로부터 벡터 x의 크기를 재는 함수 norm을 정의 할 수 있다.

(*8: Proposition에서 정의한 $\lVert X \rVert=d(X,\theta)$이 norm이다)
norm은 다음과 같은 성질을 가진다.
N1) $\lVert x \rVert = 0 \iff x=0$
N2) $\lVert \alpha x \rVert = \alpha \lVert x \rVert$
N3) $\lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$

10.6: Example

$C[0,1]$를 구간 $[0,1]$에서 정의된 연속함수의 집합이라고 가정하자.
$C[0,1] := \{f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \quad \vert \quad f: continuou- function\}$
이때, 다음과 같이 정의된 함수

는 모든 양수 $p>0$에 대해 거리의 정의를 만족한다. 또한,

는 norm의 성질을 만족한다.
이를 $L_p$-norm이라고 한다.

10.7: Example (discrete metric)

임의의 집합 $X$에서 다음과 같이 정의된 discrete metric도 거리의 정의를 만족한다.

Reference

D. W. Kahn, Topology: An Introduction to the Point-set and Algebraic Areas. Dover Books on Mathematics, 1995, p15-20
이종규, 위상수학. 북스힐, 2020, p146-151