[Linear algebra] 대각화 | 대각화란, 대각화 가능한 조건은 무엇일까? (2)

Linear Algebra: 대각화 | 대각화란, 대각화 가능한 조건은 무엇일까? (2)

Diagonalizability

지난 시간에는 대각화란 무엇인지, 대각화 가능하다라는 것의 필요충분조건과, 이를 설명하기 위한 eigenvector, eigenvalues 에 대해 알아보았다. 그리고 eigenvector 와 eigenvalues 는 그 자체로도 충분히 독립적으로 중요한 내용임을 강조했다. 이번에는 더 구체적으로 대각화 가능성에 대해 알아볼 것이다. Converse 는 참이 아닌 충분조건들이 등장하니, 각 조건이 implies 하는 것과 역이 성립하지 않은 경우들을 잘 챙겨둘 것!

• 각 lambadai 에 대응하는 eigenvecotrs 의 집합 Si 를 union 하더라도 여전히 linearly independent 하다는 정리이다.
• 이 정리의 의미를 곱씹으며, 다음으로 넘어가보자.

(1)

• 만약 V (dimV = n) 위에 선형 연산자 T가 있고, 그 T가 n개의 서로 다른 eigenvalues 을 갖는다고 하면 (n개의 eigenvalues 를 모두 찾을 수 있다고 한다면) => T is diagonalizable 이다.
• 이유는? eigenvector 는 각 eigenvalues 가 있을 때 무조건 하나 이상씩 있기 때문이다. 때문에 n개의 eigenvalues 를 찾을 수 있다고 한다면, 그에 대응하는 n개의 eigenvectors 가 있다는 뜻이고, 이것이 대각화가능의 가장 기본적인 필요충분조건이었다.
• 중요한 것은 이 명제의 역은 성립하지 않는다는 것. 즉, T가 대각화가능하다는 것이 n개의 서로 다른 eigenvalues 를 가짐을 의미하지는 않는다. 이따 나오겠지만 eigenvalues 들이 중복되어 n개보다 줄어드는 상황이 존재하고, 따라서 최대가 서로 다른 n개인 것! 중복되는 eigenvalues 이더라도 대각화가능한 상황은 따로 있다. 이와 관련해선 후에 계속 다루기로 하자.

(Example)

• t = 0 or t = 2 이므로 dimV= 2 인데 eigenvalue 2개를 이미 찾았고, 따라서 diagonalizable 하다.

(2)

이번엔 T가 diagonalizable 할 때 보장되는 것에 대한 명제를 하나 보자. 이전 장에서 det(A-tI) 로 정의한 characteristic polynomial 을 떠올려보자. 만약 T가 diagonalizable 하다면, char(t) 는 정확하게 t에 대한 '일차식'으로 인수분해 가능하다. 이를 char(t) splits over F 라 적는다.

• 증명은 매우 쉬운 것이 T가 diagonalizable 하다는 조건이 주어진다는 것은 그냥 T를 적절한 basis 를 잡기만 하면 diagonal matrix 로 간주해도 좋다는 것이다. 따라서 determianat 는 그저 대각성분들을 각각 곱한 형태로 나타내게 되고, 따라서 t에 대한 일차식의 곱으로 쓰여진다. 이를 'splits over F' 라 적기로 했다!
• 역은 성립하지 않음에 유의하자.

(3): 필요충분조건

이번엔 T가 diagonalizable 하다와 필요충분조건 관계에 있는 다른 명제를 또다시 살펴볼 것이다. 이를 위해 algebric multiplicity 와 geometric multiplicity 에 대한 정의부터 할 것인데, 말만 길고 크게 어렵지 않다.

• algebric multiplicity of A 는 char(t) = f(t) 라 했을 때 이 식에 (t-lambda) 가 최대로 몇 개 들어있는가 하는 것이다.
• 예컨대 아래를 보면 쉽다.

• 행렬 A의 eigenvalue 는 t= 3, or t = 4 이다. 그런데 t = 3 인 경우는 (t-3)^2의 형태로 determinant 가 나타나므로, largest k = alg. mult. = 2이다.
• t = 4인 경우에는 alg. mult. = 1 이다.

geometric multiplicity 는, 똑같이 이에 대응하는 eigenvector 의 개수를 말한다. 이전에 kernel and nullity 를 떠올려보면, v가 가질 수 있는 경우의 수이므로 nullity 에 해당하고, dimension theorem 에 따라서 n - kernel of A = nullity 로 구하면 좀 더 편하다. 아래를 보자.

• 각 lambda i에 대해 geometric multiplicity 는 가질 수 있는 eigenvector 의 가짓수로 이해하면 된다.
• eigenvector 는 T-lambdaI 를 0으로 가게 하므로, kernel(T-lambdaI) = E lambdai 라고 쓸 수도 있다 했다. 여기서는 이 eigenvector 의 가짓수를 살피고 있으므로, dimension of E lambdai 라 이해해도 좋다.

행렬의 대각화 가능과 두 개념을 연결지으려면, 먼저 각 geometroc multiplicity of lambda i 와 algebric multiplicity of lambda i 의 수 관계를 알아둬야 한다. 이를 theorem 으로 쓰면, 아래와 같다.

• 각 lambda i 에 대해 고유벡터는 적어도 1개 이상 있으므로 gemetric multiplicity of lamda 는 1보다는 크다.
• 이것이 기준이 되어서 basis 를 extend 한 상황을 가정하면 char(t) = (t-lambda)^(geo. mult.) X (나머지 t 에 대한 다항식) 이 된다. 나머지 t에 대한 다항식에 또다시 (t-lambda) 에 대한 식이 있을 수 있고, 이는 alg.mult. 로 카운트 되므로...
• alg.mult 는 항상 geometric mult 보다 같거나 크다. 단, n보다는 같거나 작다. (n일 경우 무조건 diagonalizable 한다고 했다는 것도 기억해두자.)

위의 정의를 바탕으로 T가 대각화가능하다라는 명제와 동치인 명제들을 또다시 살펴보자. 아마 배운 몇가지 명제 중 가장 간편하게 사용할 수 있는 동치관계이며, T가 diagonalizable 한 지 확인할 수 있는 좋은 도구가 될 것이다.

• T 가 대각화가능하다는 것은, 모든 i에 대해 alg.mult of labmdai 와 geometric mult of lambdai 가 같다는 것이다.
• 왜냐? split 하다는 조건 하에서, alg.mult of lamdai 의 합은 무조건 n일 수 밖에 없다. 그런데 모든 i에 대해 개수가 같다는 조건이 있다면 geometric mult of lambda i 도 자동으로 n이다. 따라서 linearly independent 한 eignevector 을 V에서 n개 찾았다고 할 수 있고, 이는 diagonalizable 과 동치인 명제였다.

• 더 나아가 T가 대각화 가능하다는 것은, 각 람다에 대응하는 eigenvector 의 space인 eigencespace i 에서, 각 eigenspace 의 basis (eigenvecotr 이다.) 를 union 한 것이 basis for V가 된다는 것과 같다.
• 왜냐? linearly independent 한

(4): 필요충분조건, Eigenspace Decomposisition

이를 바탕으로 또다른 diagonalizable 의 동치명제를 생각해볼 수 있다. 여기엔 direct sum 이란 정의가 필요한데, direct sum 이란 쉽게 말해 다음을 만족하는 임의의 vector v in V 가 존재한다는 것이다.
1. v = w1 + w2 + ... + wk (wi in Vi, Vi 는 vector space V 의 subspaces)
2. Wj intersection Summation Wi = 0 (부분 집합의 원소가 다른 부분 집합 원소들의 합으로는 표현될 수 없는 것. <=> v는 부분 집합 원소들의 합으로 유일하게 표현되는 것)

이런 정의에서 다음을 보자.

Let T be an linear operator on a f.d.v.s V
Then T is diaognaliazable iff V is the direct sum of the eigenspace of T

• 만약 V의 원소 v가 eigencespace 의 원소 (이건 각 eigenvalue 에 대응하는 eigenvector 라 했다)의 유일한 합으로 표현된다면, T는 대각화가능하다 라는 것.
• 결론적으로 T가 대각화 가능하다면, V를 이런 식으로 eigenspace 의 direct sum 으로 decomposition 하는 것이 가능하다. 더 직관적으로는, V를 V에서 사는 각 eigenvalue 에 해당하는 eigenvector 들이 span 하는 공간으로 쪼개 볼 수 있다는 것이다. (distinct eigenvalues 마다) 여전히 엄밀한 증명과 함께 이 직관도 꽤나 중요한 것 같다!

(pf, <= 을 증명)

(pf, => 을 증명)

이 증명 방법이 아직은 익숙치 않으므로, 몇 번 더 써보는걸로 하자.