[Linear algebra] 유니터리 대각화 (2)

[Linear algebra] 유니터리 대각화 (2)

이번 포스팅에서 다룰 내용은 unitary diagonalization 의 핵심이 되는 선에서 "unitarily diagonalizable" 또는 "orthogonally diagonalizable" 이 어떤 의미였는지, 그리고 그 직관을 이해하는 것을 목표로 할 것이다. 이 과정에서 실제 행렬에서 계산 레벨까지 내려가는데 어려움이 없도록 그간 풀었던 문제 중 어려웠던 문제의 논리들을 review 할 것이다 (사실 이 예시들 자체로 내려서 보면 더 쉽게 느껴지고, 동치 조건 또는 동치조건을 증명하는 선에서 조금 추상화해서 보면 더 어려운 파트인 것 같다). 어쩄든, 이 정리가 후에도 살펴볼 경우의 유니터리 대각화에 대한 이해를 도울 수 있는 동시에, 확장적이고 발전적인 방향으로 고민을 지속할 수 있도록 작성해보겠다.

문제 1.

T가 f가 주어지면 h 를 달고 나오는 V 에서 주어진 linear operator 일 때, T 가 unitary 인 것과 동치조건인 |h(t)| = 1 임을 증명하라는 문제이다. 이 문제는 T 가 unitary 임을 가정하고, T* 라는 adjoint of T 를 정의한 후 풀어나가면 동치조건을 찾는 과정 자체는 어렵지 않다.

그러나 이 문제에서 쉽게 와닿지 않는 것은 T^ 를 f 에서 h_bar x f 로 가는 함수로 T의 adjoint 처럼 정의하는 과정이다. 그리고 이렇게 정의한 adjoint 를 위의 내적 정의에 집어넣으면 실제로 내적의 결과가 이 정의와 부합하는지 체크하면 된다. 그 과정은 다음과 같다.

• <Tf, g> = <f, T*g> 임을 확인하면 된다.

결론적으로 무리 없이 T* 를 그렇게 잡을 수 있음을 내적의 성질을 통해 파악하였다.

아래는 T 가 unitary 일 때 가질 수 있는 조건 (TFAE 라고 명시했던 것들) 에 대한 한 번 더 증명이다. 이건 안보고 자연스럽게 쓸 수 있도록 이 문제 풀면서 같이 훈련해두자.

문제 2.

• A 라는 행렬이 real 일 경우 symmetric 하다는 조건 (= self-adjoint 와 동치인 조건이다) 또는 complex 인 경우 normal 인 조건이 주어졌을 때, 아래를 증명하라는 문제이다.
• 이제 두 가지 조건이 무엇을 말하는지 알아야 한다. "eigenvectors 로 이루어진 orthonomal basis 를 잡을 수 있어서, 그 basis 로 행렬 표현할 경우 diagonalizable" 할 수 있는 경우를 뜻한다.

따라서 이 조건만 이해를 하면, 아래의 전개는 너무나 쉽다. tr(A) 를 예컨대 L_A 를 stadnard basis 로 표현한 행렬이라고 하면, 위 조건이 주어졌을 경우 eigenvectors 로 이루어진 orthonomral basis 를 잡아서, (이를 좌우에 곱하는 걸 곧 보이게 된다.) 이에 대응하는 eigenvalues 들을 diagonal entry 로 넣어서 대각화 할 수 있다. 따라서 (1), (2) 모두 자명하다.

이 문제에서 한 가지 더 챙겨두면 좋을 것은, 문제에서 준 조건이 orthonormal basis consisting of eigenvectors 을 잡을 수 있다, 라고 한 것은 맞으나 (1), (2) 번을 보이기엔 어떻게든 A를 대각행렬로 만들 수 있으면 충분한 명제들이다. 따라서 여기에는 굳이 orthognormal basis 라는 조건이 사용되지는 않았고, eigenvectors 로 잡을 수 있다, 까지로 (1), (2) 를 모두 보일 수 있음을 이해하자.

문제 3.

어떤 f.d. inner product space 에서 주어진 linear operator U 를 보고, 이 U가 self-adjoint, unitary 인지 보여라 하는 것은, 각각의 정의를 따르는지 주어진 U의 연산을 통해서 확인하면 된다. 이때 정의만 그대로 쓸 것인지 그와 연결된 동치조건 (orthogonal basis consisting of eigenvectors 를 잡아서 diagonal 을 만들 수 있다, 등) 을 보임으로써 self-adjoint 임을 보일 것인지 결정해야 하는데, 우선적으로 내적을 이용한 정의를 먼저 보이는 게 맞는 방향임을 보여주는 문제이다.

Unitarily equivalent (orthogonally equivalent) | unitary matrix (orthogonal matrix)

어떤 행렬 A가 B와 unitarily equivalent 하다는 것은, B에 unitary matrix 를 곱해서 A를 만들 수 있다는 것이고, (역도 가능) orthogonally equivalent 하다는 것은, B에 orthogonal matrix 를 곱해서 A를 만들 수 있다는 것이다. (그렇다면 unitary matrix orthogonal matrix 가 무엇인지 궁금해진다.)

🤔 Unitary (또는 diagonal matrix) matrix 를 곱한다는 것은 어떤 의미가 있을까? 각 행렬의 change of basis 를 할 때 다른 정보는 건드리지 않고 orthonormal 하게만 바꿔준다는 것?

Unitary (또는 orthogonal) matrix 는 그 행렬의 열 성분이 orthonormal basis, 즉 직교하는 정규기저들로만 이루어진 행렬을 말한다. (그게 T is unitary 하다와 L_A 가 unitary 할 때 어떤 기저를 잡을 수 있는지, 하는 것의 동치였다.) 만약 이 행렬이 복소수체 위일 경우 unitary, 실수체 위일 경우 orthogonal matrix 라 이름 붙인다. change of bases 와 관련해 이전에 다뤘던 것은 다음과 같다.

• 감마든 베타든 굳이 orthonormal 할 필요가 없고, bases 기만 하면 되는 상태에서, equivalent 하다의 정의를 같은 linear transformation 이지만 basis 만 다르게 표현한 것, 이라고 했다.

그러나 inner produce space 에서는 이렇게 아무 bases 나 가져와서 이를 change 한다는 것을 인정하지 않는다는 것이다. 왜? inner product space 에서 주어진 연산인 inner product 나, 이전에 다뤘던 normal, self-adjoint, 그리고 unitary 까지 모두 연산을 정의하는데 orthonormal basis 가 쓰인다. 일례로, linear operator T에 대한 행렬 A가 주어졌을 때 이에 대응하는 T* adjoint of T 에 대한 행렬을 쓰려면, 만약 A 자체를 이미 orthonormal basis 로 썼다면 그대로 transpose (복소수체 위에서라면 conjugate까지) 취해주면 된다. 그러나, 이때 orthononormal basis 를 사용하지 않았다면, 이 adjoint 에 대한 행렬을 쓰기 위해 양 옆에 orthonormal basis 로 써주기 위한 identity matrix 를 곱해야 한다.

Unitarily (Orthogonally) diagonalizable

위의 어떤 행렬에 Unitary matrix (또는 orthogonal matrix) 를 곱해 나온 행렬이 diaogonal matrix 라면, 즉 diagonal matrix 와 그 행렬이 equivalent 하다면, 그 행렬을 unitarily (unitary matrix 를 곱해서) diagonalizable (대각행렬을 만들 수 있음) 이라고 한다.

• 구체적으로, diagonal matrix 는 기존 행렬 A 에서 양 옆에 unitary matrix (또는 orthogonal matrix) 를 곱해서 결과로 나오는 것이고,
• 이 양 옆에 곱해주는 matrix 는 역시나 orthonomral basis 로 표현한 경우이다.

• 같은 동치조건으로서 이를 "unitary matrix P 가 있어서 D = P*AP 가 대각행렬이 된다" 라는 것으로 쓸 수도 있다. 원래 adjoint of P 자리는 p inverse 가 있던 자리인데, unitary 라는 조건이 있다면 p inverse = adjoint of p 임을 사용한 것이다.

• A 는 diagonal matrix 와 unitarily equivalent 하다. 즉, 지금은 다른 basis 를 잡아서 대각행렬이 아니지만, basis 를 orthonormal 로 고쳐줄 경우 diagonal matrix 가 될 수 있다는 뜻이 된다. => 이 "고쳐준다" 의 의미가 orthonormal basis 로 이루어진 unitary matrix 를 곱해준다의 의미와 정확히 같고, linear transformation 에서의 equivalent 를 이야기 할 떄보다 inner product space 에서의 equivalent 를 이야기 하기 위해 조건을 강화한 것이다.

• Remark. 이 equivalent 는 자기 자신, 순서를 바꿀 경우, A와 B가 equivalent 하고 B와 C가 equivalent 할 경우 A 와 C가 equivalent 함을 보장한다.

Normal, Symmetrix (self-adjoint) 와의 연결

• 복소수체 위에서 정의된 행렬 A를 먼저 보자. A가 normal 하다는 것은, 이미 orthonormal basis consisting of eigenvectors 를 잡을 수 있다는 뜻이었다. 따라서, 이 basis 로 이루어진 unitary matrix 를 이용하면 대각행렬을 만들 수 있다. (이때 대각행렬은 eigenvectors 에 대응하는 eigenvalues 들이 된다)

• 직관적인 의미? 어떤 normal 한 변환은 그 고유벡터의 방향은 그대로 두고 크기만 바꾸는 변환이다. 따라서, P는 이를 normal basis 로 읽겠다는 것이며, 각 방향에서 A 크기만 바꾸는 변환을 적용 후, P* 다시 이를 고유기저로 읽겠다는 것이다. 따라서 결과는 각 방향에서 자신의 축만 람다 배 늘어난 diagonal matrix 가 된다.

아래의 예시를 보면 이해가 쉽다.

• 가운데 있는 A matrix 는 결과적으로 대각행렬이 되는 unitary equiavalent to diagonal matirx, unitarily diagonalizable 하다.

• 오른쪽의 P는 orthonormal basis 로 이루어진 unitary matrix 다. 즉, A라는 행렬을 각 방향에서 직교하는 기저들로 모아둔 것이다!

• 여기서 A를 적용한다는 것은 이 기저들에 변환을 적용시키는 것이며, 이를 P inverse 로 읽어오는 것은 이 변환을 다시 정규직교 기저에서 고유좌표로 읽어내는 것이다. 즉 이 변환은 각 축에서 크기 변환만 하기 때문에 대각행렬, eigenvalue 로 구성되게 된다.

Application: Rigid Motion (모양 변화가 없는 운동)

물리학에서 등장하는 Rigid motion 은 모양 변화가 없는 운동 F를 말한다. 이를 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

원본 모양 A에서 B까지 거리와, 이에 대해 운동으로 변환한 결과 F(A) 와 F(B) 사이의 거리는, F 변환이 모양 변화를 하지 않고 위치와 물체의 회전만 하기 때문에 거리는 유지된다. 이에 대한 예시로는 아래 우리가 orthogonal (= 복소수체에서 unitary 와 같으나 물리에서 다루는 범위는 주로 실수로 한정되므로) 이라 잡았던 연산과, 추가적으로 x가 주어지면 x+v 를 뱉는 translation 이 이 있다.

이를 통해 rigid motion f 가 있다면, 이 f는 orthogonal operator T (내적, 각을 보존) 와 translation g (평향이동) 의 유일한 합성으로 표현할 수 있음을 증명할 수 있다.