[Linear algebra] 케일리-해밀턴 정리 (2)
지난 포스팅에선 케일리-해밀턴 정리에 사용되는 기본 정의인 T-invariant subspace 와 T-cyclic subspace 에 대해 알아보았다. 직관적인 설명으로, W: T-invariant subspace of V는 W 안에 임의의 원소를 잡아 T 선형 연산을 취하여도 여전히 W의 원소가 되는 집합을 말한다. T-cyclic subspace 는 W라는 집합의 원소 v, 한번 선형 연산한 Tv, 두 번 한 T^2(v), ..., 가 span 하는 공간을 말한다. 그런데 만약 V가 finite dimensional vector space (dimension이 n인) 로 주어질 경우, T-cyclic subspace 도 역시 n 이하로 유한하게 주어져야 하고, 만약 정확히 T^n(v)가 나머지 {v, Tv, ..., T^k-1(v)} 의 linear combination 으로 표현되었다면 각각의 계수들을 가져와서 T|w의 특성다항식의 계수로 활용할 수 있었다. 이것이 T-cyclic subspace 의 간편함임을 느꼈다!
그럼 이걸 가지고 케일리-해밀턴 정리가 무엇인지 아래에서 알아보자.
1. Cayley-Hamilton theorem
- 케일리-해밀턴 정리는, f.d.v.s V위의 선형연산자 T가 있을 때, T의 특성 다항식에 T를 집어넣으면 0 이 된다는 것이다!
- 마찬가지로 matrix ver. 을 보자. A가 nxn matirx 일 때, A의 특성 다항식에 A를 집어넣으면 0이 된다!
- 공통적으로 이때 특성 다항식은 (-1)^n(t^n + an-1t^n-1 + ... + a0)과 같이 쓰여진다고 하자.
여기까지 보면 이전에 배운 T-cyclic 이니 T-invariant subspace 가 어떻게 이용되는지 모를 수 있지만, 아래 증명을 보면 납득이 간다.
(Cayley-Hamilton theorem 증명)
- 주장하고자 하는 것은 characteristic polynomial of T에 t자리에 T를 넣은 다항식에, V의 원소 v를 주게 되면 0이 튀어나온다는 것.
- 0일 때는 자명하다.
- v에 대해 generated 된 T-cyclic subspace of V 를 W라 하자. 그리고 dimW = k 라 하면, T^k(v) 를 나머지 cyclic subspace 의 원소들의 linear combination 으로 작성할 수 있다. (a0 ~ ak-1까지)
- 이전 포스팅의 theorem 에 따르면, T|w 에 대한 특성 다항식은 이 계수들, T^k(v)를 linear combination 으로 표현할 때 사용한 a0 ~ ak-1까지의 계수들이 각각 t에 대한 다항식의 계수들이 된다.
- 또한 이전 포스팅의 theorem 에 따르면 이 T|w, W에 대해 restriction 된 특성 다항식은 T의 특성 다항식을 나눈다.
- 따라서 T의 특성다항식을 f(t), T|w의 특성다항식을 g(t) 라 두면 f(t) = g(t)h(t) 로 표현할 수 있고.. 여기에 T를 집어넣으면
- f(T)(v) = h(T)g(T)(v) 가 되고 g(T) = 0 이었다.
우리는 이미 지난 포스팅에서 theorem 으로 T|w 의 특성 다항식이 t에 T에 대한 다항식으로 적힐 수 있음을 보였기에, 케일리 해밀턴 정리는 이를 확장해서 전체 T에 대한 다항식이 0이 되는 조건을 특정한 것으로 이해할 수 있다 (linear operation T가 input 으로 들어갈 때 = 0).
2. Cayley-Hamilton theorem (Ex)
케일리 해밀턴 정리를 이용하면 위와 같은 matrix 가 주어질 때, 행렬식에 A를 집어넣으면 0이 된다는 항등식을 얻을 수 있다.
(1에 대한 풀이)
(2에 대한 풀이)
3. Theorem: T의 특성다항식은 T-invariant subspace의 특성다항식의 곱으로 decompose 할 수 있음.
케일리-해밀턴 정리를 활용하면 T의 특성다항식을 그대로 보지 않고, T-invariant subspace 각각의 특성다항식의 곱으로 표현할 수 있음을 알 수 있다. 특성다항식을 분해하는 건 모든 부분 공간에 대해서가 아닌 T-invariant 하다는 조건이 필요함을 알아두자. 마치 이전에 전체 벡터공간 V를 eigenspace Wi 들의 direct sum 으로 표현했던 eigenspace decomposition 이 떠올랐다면 성공이다. (왜냐? 결국 eigenspace 들도 T-invariant subspace 라 할 수 있다 했고.. 이들이 공간에 대해선 direct sum 으로 표현되었다면 특성다항식, 다항식에 대해선 곱으로 표현될 수 있다고 생각하는 것은 직관적으로 매우 자연스럽다. 특히나 eigenspace decomposition 은 이 경우의 특수한 경우라고 이해할 수 있을 것이다.)
- V가 Wi: T-invariant subspace 의 direct sum 으로 표현될 수 있다면,
- T의 특성 다항식은 T|wi 의 특성 다항식의 곱으로 표현할 수 있다는 것.
- 우리가 이미 다룬 것의 확장에 지나지 않는다. 왜? 우리는 이미, T-invariant subspace W가 있다면 T의 특성다항식을 T|w가 나눈다 (divide) 는 정리를 봤기 때문이다. 그리고 이 경우 확장하여 decomposition 처럼 이해할 수 있는 가능성도 열어놨었다.
(정리에 대한 증명)
- 반복되는 비슷한 증명으로, 전체 T를 전체 베타에 대해 matrix representation 하는데, 이때 베타1, 베타2, ..., 베타k의 원소들, 즉 T|w1, T|w2, 를 쓸 때 필요한 matrix representation 을 가져다 쓸 수 있다는 것이다.
- 이때 각각의 베타i 개수만큼 정사각행렬을 각각 집어넣고, 나머지는 모두 0으로 채우게 되는데, 이러한 행렬식의 계산은 block diagonal 이라고 하여 각각의 곱으로 쪼갤 수 있다.
(Rmk.T: diagonalizable, linear operator 인 경우 예시)
- V가 각각의 eigenspace 들의 direct sum 이라면,
- T의 특성다항식은 eigenspace 가 지배하는 각 공간으로 restriction 한 T|lambdai 의 특성다항식의 곱으로 쪼갤 수 있다.
Theorem: 행렬의 direct sum 을 이용한 다른 표현 (2)
위에서 배운 것들을 행렬의 direct sum 을 정의하고나면 좀 더 간편하게 나타낼 수 있다. 아래에서 행렬에 대한 direct sum 의 정의를 보자.
행렬의 direct sum 은, 직관적으로 두 행렬을 대각으로 배치하고, 나머지에는 모두 0을 채워넣어 새로운 matrix 를 만드는 것이다.
이를 이용해 위에서 특성 다항식을 쪼개쓸 수 있었던 이전의 theorem 을 특성다항식까지 가지 않고, matrix 을 이용해 더 간단히 작성해보자. T의 베타에 대한 matrix representation 은 이를 구성하고 있는 T-invariant subspace 의 basis 베타 i가 주어졌을 때, 각각 [T|wi] 를 베타 i에 대해 표현했을 때로 적을 수 있었다.
- 이전 theorem 에서 행렬식으로 넘어가기 전까지와는 아무런 차이가 없다.
- 아래 증명은 이에 대한 첨자를 통한 구체적인 표현을 보여주고 있다.
정리하면, 전체 선형연산자 T의 베타에 대한 matrix rep.은, T-invariant subspace Wi 를 각각 잡을 수 있을 때, T|wi 로 restrict 한 것을 베타 i에 대한 matrix rep. 들을 각각 direct sum 한 것으로 작성할 수 있다.
