[알고리즘] 다이나믹 프로그래밍 (DP)

Daisy 🌼·2022년 7월 31일

DP 다이나믹 프로그래밍 알고리즘

알고리즘

목록 보기

6/8

강의 출처 : 나동빈님 유튜브 강의

1. 다이나믹 프로그래밍 (DP)

다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용해 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장해 다시 계산하지 않도록 함
다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 (탑다운, 보텀업)으로 구성

2. 다이나믹 프로그래밍의 조건

DP는 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용 가능
1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아 큰 문제를 해결 가능
1. 중복되는 부분 문제 (Overlapping SUbproblem)
- 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 함

3. 피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, DP로 효과적으로 계산 가능

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미
피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같음

$a_n = a_{n-1} + _{n-2}, a+1 = 1, a_2 = 1$
피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현 가능하며, 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현
피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현 가능하며, n번째 피보나치 수를 $f(n)$ 라고 할 때, 4번째 피보나치 수 $f(4)$ 를 구하는 과정은 다음과 같음

피보나치 수열 : 단순 재귀 소스코드

def fibo(x):
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)
print (fibo(4))
>>> 3

피보나치 수열의 시간복잡도 분석
단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 됨
다음과 같이 $f(2)$ 가 여러 번 호출 되는 것 확인 가능 (중복되는 부분문제)
피보나치 수열의 시간복잡도는 다음과 같음

세타 표기법 : $\theta (1.618...^N)$
빅오 표기법 : $O(2^N)$

빅오 표기법을 기준으로 $f(30)$ 을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다. 그렇다면 $f(100)$ 을 계산하기 위해 얼마나 많은 연산이 필요할까?

피보나치 수열의 효율적인 해법 : DP

DP의 사용 조건을 만족하는 지 확인한다

최적 부분 구조 : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있음

중복되는 부분 문제 : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
피보나치 수열은 DP의 사용조건을 만족함

4. 메모이제이션(Memoization)

메모이제이션은 DP 구현하는 방법 중 하나
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옴
- 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱 (Cashing)이라고도 함

5. 탑다운 vs 보텀업

탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며, 보텀업 방식은 상향식이라고 함
DP의 전형적인 형태는 보텀업 방식
- 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부름
엄밀히 말하면, 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념
- 따라서 메모이제이션은 DP에 국한된 개념은 아님
- 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고, DP를 위해 활용하지 않을 수도 있음

5-1. 피보나치 수열 : 탑 다운 DP 예제

# 한 번 계산된 결과를 Memoization 하기 위한 리스트 초기화 
d = [0] * 100 # 0~99까지의 인덱스를 갖게 됨

def fibo(x):
	# 종료조건 (1 or 2일 때, 1 반환)
	if x == 1 or x == 2:
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제면, 그대로 반환
    if d[x] != 0 :
    	return d[x]
	# 아직 계산 안 한 문제면, 점화식에 따라 피보나치 결과 반환       
   d[x] = fibo(x-1) _fibo(x-2)
   return d[x]
print(fibo(99))
>>> 218922995834555169026

5-2. 피보나치 수열 : 보텀 업 DP 예제

# 앞서 계산한 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] *100
>>> # [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 2
n = 99

# 피보나치 함수 반복문으로 구현(보텀업 DP)
for i in range(3, n+1):
	d[i] =d[i-1] + d[i-2]
   
print(d[n])
>>> 218922995834555169026

5-3. 피보나치 수열 : Memoization 동작 분석 (시간복잡도 O(N))

d = [0] * 100

def fibo(x):
	print('f(' + str(x) + ')', end = ' '_
    if x == 1 or x == 2 :
    	return 1
	if d[x] != 0:
    	return d[x]
   	d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
    return d[x]
fibo(6)
>>> f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석
이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대 가능
실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해보면 다음과 같이 방문함

6. DP vs 분할정복

DP와 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있음
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아 큰 문제를 해결 할 수 있는 상황
DP와 분할 정복의 차이점 : 부분 문제의 중복
- DP 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됨
- 분할정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않음

분할정복의 대표적인 예시 : 퀵 정렬
한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면, 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않음
분할 이후, 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않음

7. DP 문제 접근 방법

주어진 문제가 DP 유형임을 파악하는 것이 중요
가장 먼저, 그리디, 구현, 완전탐색, 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토
- 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면, DP를 고려
일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤, (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법으로 사용가능
일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형 DP 문제가 출제되는 경우가 많음

8. 문제 : 개미전사

8-1. 문제풀이

n= int(input()) # 4
array = list(map(int, input().split())) # [1, 3, 1, 5]

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# DP 진행 (보텀업)
d[0] = array[0] # 1
d[1] = max(array[0], array[1]) # max(1, 3) = 3
for i in range(2, n): # 2~3
	# 특정한 i 창고를 안털면 [i-1], 특정한 i 창고를 털면 [i-2]
	d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + array[i]) 
 # d[2] = max(d[2-1]), d[2-2] + array[2] -> max(3, 1+1) = 3
 # d[3] = max(d[3-1]), d[3-2] + array[3] -> max(3, 3+5) = 8

print(d[n-1]) # d[4-1] = d[3] = 8

9. 문제 : 1로 만들기

9-1. 문제풀이

x = int(input()) # input = 4

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001

for i in range(2, x+1): #2 ~ 4
 
  d[i] = d[i - 1] + 1 # 현재 수 - 1
  # i = 2, d[2] = d[2-1] + 1 = 1
  # i = 3, d[3] = d[3-1] + 1 = 1+1= 2
  # i = 4, d[4] = d[4-1] + 1 = 2+1= 3  
 
  if i % 2 == 0: 
    d[i] = min(d[i], d[i//2] + 1) 
    # i = 1, min(d[2], d[2//2] + 1) =min(1, 1+1) = 1
    # i = 4, min(d[4], d[4//2] + 1) =min(3, 2) = 2
 
  if i % 3 == 0:
    d[i] = min(d[i], d[i//3] + 1) 
    # i = 3, min(d[3], d[3//3]+1) = min(2, 2) = 2
 
  if i % 5 == 0:
    d[i] = min(d[i], d[i//5] + 1)

print(d[x])
>>> 2

10. 문제 : 효율적인 화폐 구성

10-1. 문제풀이

n, m = map(int, input().split())
arr = []

for i in range(n):
  arr.append(int(input()))
# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)
# DP 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
  for j in range(arr[i], m + 1):
      if d[j - arr[i]] != 10001: # (i-k)원을 만드는 방법이 존재하면
        d[j] = min(d[j], d[j - arr[i]] + 1)
# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
  print(-1)
else:
  print(d[m])

11. 문제 : 금광

11-1. 문제풀이

for tc in range(int(input())):
  n, m = map(int, input().split())
  arr = list(map(int, input().split()))
 
 # DP를 위한 2차원 DP 테이블 초기화
  dp = []
  index = 0
  for i in range(n):
    dp.append(arr[index:index + m])
    index += m  
   
   # DP 진행
  for j in range(1, m):
    for i in range(n): 
      # 왼쪽 위에서 오는 경우
      if i == 0: left_up = 0
      else: left_up = dp[i - 1][j - 1]         
      # 왼쪽 아래에서 오는 경우
      if i == n - 1: left_down = 0
      else: left_down = dp[i + 1][j - 1]
      # 왼쪽에서 오는 경우
      left = dp[i][j - 1]
      dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
          
  result =0
  for i in range(n):
    result = max(result, dp[i][m - 1])
  print(result)

12. 문제 : 병사 배치하기

12-1. 문제풀이

n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))
arr.reverse() # 순서를 뒤집어, '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환

# DP를 위한 1차원 DP 테이블 초기화
d = [1] * n

# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
  for j in range(0, i):
    if arr[j] < arr[i]:
      d[i] = max(d[i], d[j] + 1)
     
# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n-max(d))

Daisy 🌼

세상을 이롭게하는 AI Engineer

이전 포스트

[알고리즘] 힙 정렬 (Heap Sort) & heapq 모듈

다음 포스트

[알고리즘] 다이나믹 프로그래밍 (DP)

알고리즘

1. 다이나믹 프로그래밍 (DP)

2. 다이나믹 프로그래밍의 조건

3. 피보나치 수열

4. 메모이제이션(Memoization)

5. 탑다운 vs 보텀업

5-1. 피보나치 수열 : 탑 다운 DP 예제

5-2. 피보나치 수열 : 보텀 업 DP 예제

5-3. 피보나치 수열 : Memoization 동작 분석 (시간복잡도 O(N))

6. DP vs 분할정복

7. DP 문제 접근 방법

8. 문제 : 개미전사

8-1. 문제풀이

9. 문제 : 1로 만들기

9-1. 문제풀이

10. 문제 : 효율적인 화폐 구성

10-1. 문제풀이

11. 문제 : 금광

11-1. 문제풀이

12. 문제 : 병사 배치하기

12-1. 문제풀이

[알고리즘] 힙 정렬 (Heap Sort) & heapq 모듈

[알고리즘] 탐욕법(Greedy) 유형별 문제풀이

0개의 댓글