Random Variable

연속형 확률 변수로 주로 대기 시간, 신뢰성 분석, 금융 모델링 등 다양한 분야에서 활용됨.
ex)
① 대기 시간 모델링: 특정 사건이 발생하기까지의 누적 대기 시간을 모델링하는 데 사용된다. 예를 들어, 포아송 과정에서 k번째 사건이 발생하기까지의 시간.
② 신뢰성 공학: 제품의 수명이나 고장 시간을 분석하는 데 활용된다.

감마함수(Gamma Function)

• 정의
  $\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}y^{\alpha-1}e^{-y}dy$
  
  
• 특성
  $① \space \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)\\ ② \space \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! \space (\alpha:positive \space integer)\\ ③ \space \Gamma(1)=1\\ ④ \space \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

분포의 특성

• pdf of $X$($\alpha:shape \space parameter,\beta:scale \space parameter)$
  $f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}} \space (0<x<\infty,\alpha>0,\beta>0)\\\ \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)=1?\\ Let \space t=\frac{x}{\beta}\\ then \space x=\beta t,\frac{dx}{dt}=\beta,dx=\beta dt\\ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}(\beta t)^{\alpha-1}e^{-t}\beta dt=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\frac{\beta^{\alpha-1}\beta}{\beta^\alpha}t^{\alpha-1}e^{-t}dt=1$
  
  
• 기댓값
  $E(X)=\alpha \beta$
  pf)
  $E(X)=\int_{0}^{\infty}x\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}\int_{0}^{\infty}x^\alpha e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\frac{\Gamma(\alpha+1) \beta^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1) \beta^{\alpha+1}}x^{\alpha}e^{-\frac{x}{\beta}}dx=\frac{\Gamma(\alpha+1) \beta^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha}=\alpha \beta$
  
  
• 분산
  $Var(X)=\alpha \beta^2$
  pf)
  
  
• mgf
  $M_X(t)=(1-\beta t)^{-\alpha} \space (t<\frac{1}{\beta})$
  pf)
  
  
• pdf의 다른 표현
  $When \space \lambda=\frac{1}{\beta},\\ f(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} \space (x>0,\alpha>0,\lambda>0)\\ E(X)=\frac{\alpha}{\lambda}\\ Var(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}$

• 참고자료
  https://data-hoon.tistory.com/4