순서 통계량(Order statistics)

Let $X_1,...,X_n$ : random variables with pdf $f_X()$ &
$Y_j$ : $j$th order statistic

• $P(y < Y_j \leq y+ \epsilon)?$

  $P(y < Y_j \leq y+ \epsilon) =$ $P[(j-1)$ 개의 $X_i$ 가 $y$ 보다 작고, 한 개의 $X_i$ 는 $y$ 와 $y+\epsilon$ 사이에 있고, $(n-j-1)$ 개의 $X_i$ 가 $y+ \epsilon$ 보다 큼$]$

• pdf of $Y_j$

  $f_{Y_j} (y) = \frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}F_X^{j-1}(y) f_X(y) (1-F_X(y))^{n-j}$
  
  pf)
  

• joint pdf of $Y_i,Y_j$

  Let $Y_j>Y_i$
  
  $f_{Y_i,Y_j} (y_i,y_j) = \\ \frac{n!}{(i-1)! 1! (j-i-1)! 1! (n-j)!} F_X^{i-1} (y_i) f_X(y_i) [F_X(y_j) - F_X(y_i)]^{j-i-1} f_X(y_j) [1-F_X(y_j)]^{n-j}$