Random Variable

n 번의 독립적인(independent) 베르누이 시행 중에서 성공 횟수

$X=\sum_{i=1}^nY_i \space (Y_i:Bernoulli \space r.v.)$
$P_X(x)$: $x$번 성공할 확률

분포의 특성

• pmf of $X$
  $P_X(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \space (x=0,1,2,...,n)(0<p<1)$
  
  
• 기댓값
  $E(X)=np$
  pf)
  
  
• 분산
  $Var(X)=np(1-p)$
  pf)
  
  
• mgf
  $M_X(t)=E(e^{tx})=\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}e^{tx}p^x(1-p)^{n-x}=\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}(pe^t)^x(1-p)^{n-x}=(1-p+pe^t)^n \space (-\infty<t<\infty)$

이항분포의 일반화

• Multinomial Distribution

  $p(x_1,...,x_k)=\frac{n!}{x_1!...x_k!} p_1^{x_1}...p_k^{x_k} \\ x_i=0,1,2,...,n\\ i=1,...,k \\ \sum_{i=1}^{k} x_i=n\\ 0 \leq p_i \leq 1, \space \sum_{i=1}^{k} p_i=1$