분포의 특성

• pdf of $X$(감마분포의 특별한 케이스)
  $f(x)=\frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2}) 2^{\frac{r}{2}}}x^{\frac{r}{2}-1}e^{ -\frac{x}{2}} \space (x>0,r>0)\\ \equiv Gamma(\alpha=\frac{r}{2},\beta=2)$
  
  
• 기댓값
  $E(X)=r$
  pf)
  
  
• 분산
  $Var(X)=2r$
  pf)
  
  
• mgf
  $M_X(t)=(1-2t)^{-\frac{r}{2}} \space (t<\frac{1}{2},r>0)$

관련 정리

Theorem)
확률 변수 $X$가 카이제곱분포를 따르고, $k>-\frac{r}{2}$ 라면, $E(X^k)$이 존재하고 $E(X^k)=\frac{2^k \Gamma(\frac{r}{2}+k)}{\Gamma(\frac{r}{2})}$
pf)