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det(AB) = det(A)det(B)
A가 n×n 정방행렬이고 역행렬이 존재하는 가역행렬일때, 행렬 A는 기본행렬(elementary matrix)의 곱으로 표현할 수 있다. 즉 A=EmEm−1...E1이다.
det(AB)=det(EmEm−1...E1B)=det(Em)det(Em−1)...det(E1)det(B)=det(EmEm−1...E1)det(B)=det(A)det(B)
(기본행렬의 곱의 예)
[3001][1701][10−11][1004/3]=[37−4−8]
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det(AT)=det(A)
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det(A−1)=det(A)1
I=AA−1
det(I)=det(AA−1)
1=det(A)det(A−1)
det(A−1)=det(A)1
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det(PAP−1)=det(A)
det(PAP−1)=det(P)det(A)det(P−1)=det(P)det(A)det(P)1=det(A)
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det(cA)=cndet(A),A는n×n정방행렬
det(cA)=det(cInA)=det(cIn)det(A) → 앞에서 증명
=det⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡c0...00c...0.........000...c⎦⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎞det(A)
=cndet(A)
→ 대각행렬(diagonal matrix)의 determinant 증명은 바로 이어서 나옴
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det(diag(a11,...,ann))=det⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡a110...00a22...0.........000...ann⎦⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎞=a11a22...ann
det⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡a110...00a22...0.........000...ann⎦⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎞=(−1)1+1a11⋅det⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡a220...00a33...0.........000...ann⎦⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎞=a11⋅(−1)2+2a22⋅det⎝⎜⎜⎜⎛⎣⎢⎢⎢⎡a330...00a44...0.........000...ann⎦⎥⎥⎥⎤⎠⎟⎟⎟⎞...=a11a22...(−1)n−2+n−2an−2n−2⋅det([an−1n−100ann])=a11a22...an−2n−2an−1n−1ann
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det⎝⎜⎛⎣⎢⎡a11...an1...⋱...0...ann⎦⎥⎤⎠⎟⎞=a11a22...ann
삼각행렬(triangular matrix)의 행렬식(determinant)도 대각 원소들의 곱인데, 앞의 대각행렬(diagonal matrix)과 거의 유사하게 증명이 된다.(상삼각 행렬, 하삼각 행렬 모두 동일하게 적용이 된다.)