LTI 시스템이란?

박재한·2023년 6월 3일

수학(mathematics)

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LTI(Linear Time Invariant) 시스템에 관하여 정리하였고, 여기의 블로그 포스트를 참고하였다.

1. 시스템과 LTI 시스템

시스템은 입력을 받아서 출력으로 내보내기 위해 형태를 바꿔주는 곳을 말한다. 넓게 지칭하면, 입력, 출력, 그리고 그 함수까지도 지칭하지만, 본 글에서는 함수만을 의미하도록 한다. 즉, 다음 그림처럼 나타낼 수 있다.
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위와 같이, 시스템은 입력을 출력으로 만들어주는 것들을 통칭하므로 매우 넓은 범위를 포함하며, 그 시스템이 갖는 성질에 따라서 특징을 정리할 수 있다. 이 중, Linearity(선형성)와 Time-invariant(시불변성)을 갖는 시스템을 LTI 시스템이라고 한다. 이 두 가지 특성은 시스템을 예측 가능 (Predictable) 하게 해준다는 장점이 있으므로, 매우 중요하다. 각각에 대해서 살펴보도록 한다.

1.1 선형 시스템(Linear system)

선형성 (Linearity) 은 시스템뿐만 아니라, 여러 전공에서도 언급되는데 간단히 말해 Scalability (Scaling) 과 Additivity 를 일컫는 말이다. 이 두 가지 특성을 합쳐 Superposition이라고도 한다.

1.1.1 Scaling(균일성(homogeneity))

입력이 $x[n]$ , 출력이 $y[n]$ 인 시스템에서 Scalable한 시스템은 다음을 만족한다.
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즉 연속시간 신호에 임의의 상수 a를 곱한 입력을 시스템에 입력하여 얻어진 출력 신호는 임의의 상수를 곱하기 전 연속시간 신호를 입력하고 출력 신호에 상수 a를 곱한 것과 같다.
이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다.
$y[n]=f(x[n])\rightarrow f({\color{Red} k}x[n])={\color{Red} k}f(x[n])$
좀 더 간단히 나타내면, $f({\color{Red} k}x)={\color{Red} k}f(x)$

1.1.2 Additivity(가산성)

입력 $x_1[n]$ 과 $x_2[n]$ 에 대해 출력이 $y_1[n]$ , $y_2[n]$ 인 시스템에서 Additivity 를 갖는 시스템은 입력 $x_3[n]=x_1[n]+x_2[n]$ 에 대해 출력이 다음을 만족한다.
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두 연속시간 신호가 더해져서 시스템에 입력되고 이를 통해 얻어진 출력 신호가 두 연속시간 신호를 분리해서 각각 시스템에 입력하고 얻어진 출력 신호를 합친 것과 동일하다. 즉, 더해서 넣어서 출력한 거랑, 각각을 출력한 것를 더한 것이랑 서로 같다는 의미이다.
이것 또한 수식으로 나타내면 다음과 같다.
$y_1[n]=f(x_1[n]), \, y_2[n]=f(x_2[n])\rightarrow f({\color{Red} x_1[n]+x_2[n]})=y_1[n]+y_2[n]$
좀 더 간단히 나타내면, $f({\color{Red} x+y})=f(x)+f(y)$

1.2 시불변 시스템(Time invariant system)

시불변이라는 것은 그 시스템에 대해서 input이 time-shift되었을 때도, output도 동일한 크기만큼 time-shift 된다는 것을 말한다.
자판기를 예를 들어 설명하면,(자판기가 LTI system이고 뽑을려는 제품 선택 버튼을 누르는 행위를 입력으로 본다.)
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즉 input $x[t]$ 에 대하여 output이 $y[t]$ 라면,
input을 T만큼 delay시켰을 때의 input $x[t-T]$ 에 대해서 output은 $y[t]$ 를 T만큼 delay시켰을 때의 결과인 $y[t-T]$ 와 같다.
이 말을 표면적으로만 보면 중요한 의미를 놓칠수가 있는데 이 말의 의미는 t에서의 입력( $x[t]$ )에 대한 출력( $y[t]$ )이 있으면 t를 delay시켜 입력( $x[t-T]$ )했어도 출력된 값( $y[t-T]$ )은 같다. 즉 위의 자판기 그림의 설명과 같다.

1.2.1 이해를 돕기 위한 example

$y(t)=x(-2t+2)$
인 시스템이 있다. 이 시스템은 Time invariant인가?

$x(-2t+2)$ 는 $x(t)$ 에 대해 다음의 단계를 거쳐서 전개된다.( $x[t]$ 에 delay된 $t-t_0$ 를 적용하기 위해 전개 과정이 필요하다.)
$x(t)\rightarrow x(-t)\rightarrow x(-2t) \rightarrow x(-2(t-1)) \rightarrow x(-2t+2)$

즉 t에 대해 time delay가 없을 때의 입력과 출력을 $x_1$ , $y_1$ 이라고 하면,
$x_1(t)\rightarrow [LTI]\rightarrow x_1(-2t+2)=y_1(t)$

$x_1(t)$ 에 $t_0$ 만큼 입력을 delay(time shift)시킬 때의 입력과 출력을 $x_2,\, y_2$ 라고 한다면,
$x_2(t)=x_1(t-t_0)$ 이고 이 때의 입력을 앞에서와 같이 전개하면,
$x_1(t-t_0)\rightarrow x_1(-t-t_0)\rightarrow x_1(-2t-t_0)\rightarrow x_1(-2(t-1)-t_0)=x_1(-2t+2-t_0)=y_2(t)$
이제 $y_1(t)$ 에 time shift를 적용하면,
$y_2(t)=y_1(t-t_0)=x_1(-2(t-t_0)+2)=x_1(-2t+2t_0+2)$
입력을 shift했을 때의 출력인 $y_2(t)=x_1(-2t+2-t_0)$ 와
출력에 time shift했을 때의 결과인 $y_2(t)=x_1(-2t+2t_0+2)$
의 결과가 서로 다르다.
따라서 이 system은 time invariant가 성립하지 않는다!

1.2.2 example2

$y(t)=sin\,x(t)$ 시스템은 Time invariant한가?

앞에서 한 것과 동일하게 전개해 본다.
$x(t)\rightarrow sin\,x(t)$

먼저, $y_1(t)=sin\, x_1(t)$
$x_2(t)=x_1(t-t_0)\rightarrow sin\,x_1(t-t_0)=y_2(t)$

다음,
$y_2(t)=y_1(t-t_0)=sin\,x_1(t-t_0)$

위의 두 결과가 같으므로 이 시스템은 Time invariant하다고 볼 수 있다.

2. LTI 시스템을 고려하는 이유

LTI 시스템은 앞서 말한대로 예측가능한 시스템이라는 장점이 있다. ‘예측가능하다(Predictable)’라는 말의 의미를 되짚어보자면, 선형성으로 인해 입력이 2배 증가하면 2배의 출력이 생기고, 서로 다른 입력을 더했을 때는 선형적으로 더해진다는 것을 의미한다.
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