행렬식(determinant)

1. 행렬식의 주요성질

참고1
참고2

• $\textbf{det(AB) = det(A)det(B)}$
  A가 $n\times n$ 정방행렬이고 역행렬이 존재하는 가역행렬일때, 행렬 A는 기본행렬(elementary matrix)의 곱으로 표현할 수 있다. 즉 $A=E_mE_{m-1}...E_1$이다.
  $det(AB)\\=det(E_mE_{m-1}...E_1B)\\=det(E_m)det(E_{m-1})...det(E_1)det(B)\\=det(E_mE_{m-1}...E_1)det(B)\\=det(A)det(B)$
  (기본행렬의 곱의 예)
  $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4/3 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3 & -4 \\ 7 & -8 \\ \end{bmatrix}$

• $\mathbf{det(A^T)=det(A)}$

• $\mathbf{det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}}$
  $I=AA^{-1}$
  $det(I)=det(AA^{-1})$
  $1=det(A)det(A^{-1})$
  $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

• $\mathbf{det(PAP^{-1})=det(A)}$
  $det(PAP^{-1})=det(P)det(A)det(P^{-1})\\ =det(P)det(A)\frac{1}{det(P)}\\ =det(A)$

• $\mathbf{det(cA)=c^ndet(A)},\;A는\; n\times n \;정방행렬$
  $det(cA)=det(cI_nA)=det(cI_n)det(A)$ $\rightarrow$ 앞에서 증명
  $=det\left (\begin{bmatrix} c &0 &... &0 \\ 0 &c &... &0 \\ ... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &c \\ \end{bmatrix}\right ) det(A)$
  $=c^ndet(A)$
  $\rightarrow$ 대각행렬(diagonal matrix)의 determinant 증명은 바로 이어서 나옴

• $\mathbf{det(diag(a_{11},...,a_{nn}))} \\ =\mathbf{ det \left ( \begin{bmatrix} a_{11} &0 &... &0 \\ 0 &a_{22} &... &0 \\ ... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right )=a_{11}a_{22}...a_{nn} }$
  $det \left ( \begin{bmatrix} a_{11} &0 &... &0 \\ 0 &a_{22} &... &0 \\ ... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right ) =(-1)^{1+1}a_{11} \cdot det \left ( \begin{bmatrix} a_{22} &0 &... &0 \\ 0 &a_{33} &... &0 \\ ... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right ) \\ = a_{11}\cdot(-1)^{2+2}a_{22} \cdot det \left ( \begin{bmatrix} a_{33} &0 &... &0 \\ 0 &a_{44} &... &0 \\ ... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right ) \\ ...\\ = a_{11}a_{22}...(-1)^{n-2+n-2}a_{n-2n-2} \cdot det \left ( \begin{bmatrix} a_{n-1n-1} &0 \\ 0 &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right ) \\ =a_{11}a_{22}...a_{n-2n-2}a_{n-1n-1}a_{nn}$

• $\mathbf{ det\left ( \begin{bmatrix} a_{11} &... &0 \\ ... &\ddots &... \\ a_{n1} &... &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \right ) = a_{11}a_{22}...a_{nn} }$
  삼각행렬(triangular matrix)의 행렬식(determinant)도 대각 원소들의 곱인데, 앞의 대각행렬(diagonal matrix)과 거의 유사하게 증명이 된다.(상삼각 행렬, 하삼각 행렬 모두 동일하게 적용이 된다.)