[알고리즘] 최단경로 (Shortest Path)

최영환·2023년 4월 25일
Shortest Path알고리즘
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알고리즘

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Shortest Path 기본

  • 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘. ‘길 찾기’ 문제라고도 불림
  • 다양한 유형의 알고리즘이 존재하며, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있음
    • 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야하는 상황
    • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 상황
  • 대표적인 알고리즘 3가지 : 다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

다익스트라 알고리즘(Dijkstra Algorithm)

Dijkstra 기본

  • 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
    • 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야하는 상황
  • ‘음의 간선’ 이 없을 때 정상적으로 동작함
  • 매번 ‘가장 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류됨

Dijkstra 과정

  1. 출발 노드 설정
  2. 최단 거리 테이블 초기화
  3. 미방문 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택함
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신함
  5. 3과 4를 반복함
  • 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 배열에 저장하며 리스트를 계속 갱신함

Dijkstra 구현

방법 2 코드를 숙지 할 것!

  • 방법 1. 구현은 쉽지만 느리게 동작하는 코드
    import java.util.*;

class Node {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
    public static boolean[] visited = new boolean[100001];
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    public static int getSmallestNode() {
        int min_value = INF;
        int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
                min_value = d[i];
                index = i;
            }
        }
        return index;
    }

    public static void dijkstra(int start) {
        // 시작 노드에 대해서 초기화
        d[start] = 0;
        visited[start] = true;
        for (int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
            d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
        }
        // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            int now = getSmallestNode();
            visited[now] = true;
            // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }

        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}
  • 방법 2. 구현하기 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
    import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        return Integer.compare(this.distance, other.distance);
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    public static void dijkstra(int start) {
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 
            int now = node.getIndex(); // 현재 노드
            // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            if (d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }
        
        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
        
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Algorithm)

Floyd-Warshall 기본

  • 어떤 두 정점 사이의 최단 경로는 어떤 경유지 K 를 거치거나, 거치지 않는 경로 중 하나
    → 정점 A 와 정점 B 사이의 최단 경로는 A → B → K 이거나 A → K 임
  • 만약 경유지 K 를 거친다면 최단 경로를 이루는 부분 경로 역시 최단 경로이다.
    → 즉 A → B 의 최단 경로가 A → K → B 라면 A → K 와 K → B 도 각각 최단 경로이다.
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 상황에 사용할 수 있는 알고리즘
  • 2차원 리스트에 ‘최단 거리’ 정보를 저장함
  • 노드의 개수가 N 이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신함 → 다이나믹 프로그래밍

Floyd-Warshall 과정

  • A 에서 B 로 가는 최소 비용 과 A 에서 K 를 거쳐 B 로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신
  • 점화식 : Dab=min(Dab,Dak+Dkb)D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})

Floyd-Warshall 구현

  • 구현 소스코드
    import java.util.*;

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    public static int n, m;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                }
                // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                else {
                    System.out.print(graph[a][b] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

벨만포드(Bellman-Ford) 알고리즘

Bellman-Ford 기본

  • 그래프의 한 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구할 수 있는 알고리즘
  • 다익스트라 알고리즘보다 수행시간이 오래 걸리지만, 음수 가중치를 갖는 간선이 존재해도 최단 경로를 찾을 수 있음
  • 매번 저장해놓은 최소 비용을 이용해서 새로운 최소 비용으로 갱신 → DP 라고 할 수 있음

Bellman-Ford 과정

  1. 시작 정점 선택
  2. 모든 간선들을 탐색하면서, 시작 정점에서 다른 정점까지의 거리가 INF 가 아니라면 거리를 갱신
    정점의 수 - 1 만큼 반복 수행
    - V 개의 정점과 E 개의 간선이 있는 가중 그래프에서 정점 A에서 정점 B까지의 최단 거리는 최대 V-1개의 정점을 지나기 때문에 정점의 수 - 1 만큼 수행
  3. 마지막으로 2번 과정 수행
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최영환
조금 느릴게요~
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