• 가장 짧은 경로 찾는 알고리즘
• 다양한 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 그래프에서 노드로 표현, 연결된 것은 간선으로 표현

다익스트라

• 특정 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로 계산
  • 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
• 그리디 알고리즘으로 분류
  • 매 상황에서 가장 적은 비용인 노드를 선택해 임의의 과정 반복
• 1. 출발 노드 설정
• 2. 최단 거리 테이블 초기화 (자기 자신은 0이므로 시작 노드가 0)
• 3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
• 4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
• 5. 3, 4번 반복

• 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지 최단 거리 정보를 가지고 있다.

  • 이를 이용해 다른 노드를 거쳐서 도달했을 때 더 적은 비용이면 해당 경로를 제일 짧은 경로로 인식한다.

• 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정 => 그리디

• 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.

INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split())

start = int(input())
visited = [False] * (n+1)
graph = [[] for i in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1) # 최단거리 테이블

for _ in range(m):
	a, b, c map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c)) # b노드로 가는 비용 c

# 방문하지 않은 노드 중 가장 최단 거리가 짧은 노드의 index 반환
def get_smallest_node():
	min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n+1):
    	if distance[i] < min_value and not visited[i]:
        	min_value = distance[i]
            index = i
    return index
    
def dijkstra(start):
	distance[start] = 0
    visted[start] = True
    
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[i]
    
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
	for i in range(n-1):
    	now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        
        for j in graph[now]:
        	const = distance[now] + j[1]
            
            if cost < distance[j[0]]:
            	distance[j[0]] = cost
                
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
	if distance[i] == INF:
    	print("INF")
    else:
    	print(distance[i])

• 총 O(V)번에 걸쳐 최단거리가 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야된다.
• 전체 시간 복잡도는 O(V^2)
  • 전체 노드 개수가 5000개 이하라면 해결할 수 있다.
    • 10000개부터는 쫌.. (시간 초과 예상)

우선순위 큐

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
  • 최소 힙, 최대 힙 (삽입시간 ,삭제시간 모두 O(logN)) => 리스트보다 삭제시간이 더 적다.

Example 최대 heap sort

import heapq

def heapsort(iterable):
	h = []
    result = []
    
    for value in iterable:
    	heapq.heappush(h, value)
        
	for i in range(len(h)):
    	result.append(heapq.heappop(h))
	
    return result
    
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2 ..])
print(result)

• 최악의 경우에도 NlogN으로 정렬 수행 가능
  • 삽입, 삭제 logN, Data 개수 N이므로

다익스트라 개선 구현

• 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하므로 Heap 자료구조 이용
• 기본원리는 동일하지만 힙 자료구조를 가장 가까운 노드를 저장하는데 이용하는 점이 다르다.
  • 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택해야하므로 최소 힙을 사용한다.

def dijkstra(start):
  q = []
  heapq.heappush(q, (0, start))
  distance[start] = 0
  while q:
      # 가장 짧은 최단 거리 노드에 대한 정보 꺼내기
      dist, now = heapq.heappop(q)
      # 현재 노드가 이미 처리된적 있는 노드라면 무시
      if distance[now] < dist:
          continue

      # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드들을 확인
      for i in graph[now]:
		cost = dist + i[1]
		
        if cost < distance[i[0]]:
        	distance[i[0]] = cost
            heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

• O(ElogV) 이다.
• while문은 V 이상으로 처리되지 않는다.
  • 처리된적있으면 continue이므로 처리안되었을 때만 간선간의 for문을 수행하기 때문이다.
• 직관적으로 E개 원소를 우선 순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • O(ElogE)
  • O(ElogE) => O(ElogV^2) => O(2ElogV) => O(ElogV)

플로이드 워셜

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산

• 다익스트라와 마찬가지로 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행
  • But 방문하지 않은 노드 중 최단거리를 찾는 과정 필요 X
  • 해당 노드를 거쳐가는가?를 본다.
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
  • 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
• 각 단계마다 특정 노드를 거쳐가느 ㄴ경우 확인
  • Da_b = min(Da_b, Da_k + Dk_b)
  • a to b 보다 k를 거쳐 가는 것이더 거리가 짧은지를 검사

INF = int(1e9)
n = int(input())
m = int(input())

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1, n + 1):
	for b in range(1, n + 1):
    	if a==b:
        	graph[a][b] = 0
            
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split()) # a에서 b로 가는 비용은 c
    graph[a][b] = c
    
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
    	for b in range(1, n+1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if graph[a][b] == INF:
        	print("INF")
		else:
        	print(graph[a][b], end=' ')
	print()

• O(N^3)