베이지안 정리(Bayes Theorem)

🚩총 확률의 법칙 (The Law of Total Probability)

특정한 확률 변수에 대해 모든 가능한 이벤트의 총 확률은 1이다.

🚦조건부 확률

• $P(B)$일 때 $P(A)$일 조건부 확률:

  $P(A|B) = {P(A \cap B) \over P(B)}$

💎베이지안 이론

베이즈 정리란, 사전확률(Prior)을 바탕으로 사후확률(Updated)을 얻는 것이다.

• $P(A \cap B) = P(B \cap A)$라는 점을 이용해 $P(A|B)$로 $P(B|A)$를 구할 수 있다.

  $P(B|A) = {{P(A|B) P(B)} \over P(A)}$

• 여기서, 사전확률이 주어져있다면 $P(A)$를 구할 수 있다.

  $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|notB)P(notB)$

📌예시)
문제를 푸는 과정에서 학생이 답을 알고 맞췄을 확률을 계산할때

• 가설(H) : 학생이 답을 안다, 증거(E) : 학생이 답을 맞춘다.
• 목적 : 학생이 답을 맞춘상황에서 $p(E)$, 학생이 답을 알고 $p(H)$ 있었을 확률 >> $p(H|E)$
  $P(H|E) = P(E|H) * P(H) / (P(E|H) * P(H) + P(E|not H) * P(not H) )$

• TPR : True Positive Rate(=민감도) 1인 케이스에 대해 1로 잘 예측한 비율
• FPR : False Positive Rate(=1-특이도) 0인 케이스에 대해 1로 잘못 예측한 비율