문제

https://www.acmicpc.net/problem/1647

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다. 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재한다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하는 입력만 주어진다.

출력
첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

예제 입력 1
7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4
예제 출력 1
8

접근

방금 MST 기본 문제를 풀고...
혼자 한 번 적용해 보려고 비슷한 문제를 한 번 더 풀어봤다.

길을 통해 모든 마을에 접근이 가능하도록 하되, 길을 최대한 없애 유지비를 최소로 만들어야 한다.
즉, 기존 그래프 내 모든 정점은 유지하되 간선의 개수와 가중치의 합을 최소로 하는 트리인 최소 신장 트리를 만드는 문제이다.
최소 신장 트리에 대해서는 방금 여기에 정리해 두었다.
그런데 이 문제에서는 MST를 만드는 것뿐만 아니라 도시를 두 개로 분할해야 한다. MST가 완성된 후 MST를 이루는 가장 가중치가 큰 간선 하나를 없애 버리면 그 간선을 기준으로 도시가 두 개로 분할될 것이다. 어차피 MST에는 사이클이 존재하지 않기 때문에 하나의 간선만 없애면 그래프가 두 개의 MST로 완전히 분리된다.

구현

import java.io.*;
import java.util.*;

class Main {
    static int[] parent;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int M = Integer.parseInt(st.nextToken());
        PriorityQueue<Street> edges = new PriorityQueue<>((s1, s2) -> s1.cost - s2.cost);
        parent = new int[N + 1];
        
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            int A = Integer.parseInt(st.nextToken());
            int B = Integer.parseInt(st.nextToken());
            int C = Integer.parseInt(st.nextToken());
            edges.offer(new Street(A, B, C));
        }

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        int edgeCnt = 0;
        int minCost = 0;
        int existingMaxCost = 0;
        while (edgeCnt < N - 1) {
            Street curr = edges.poll();
            int rootA = find(curr.houseA);
            int rootB = find(curr.houseB);
            if (rootA != rootB) {
                parent[rootB] = rootA;
                existingMaxCost = Math.max(existingMaxCost, curr.cost);
                minCost += curr.cost;
                edgeCnt++;
            } 
        }

        minCost -= existingMaxCost;
        System.out.println(minCost);
    }

    static class Street {
        int houseA;
        int houseB;
        int cost;

        Street(int houseA, int houseB, int cost) {
            this.houseA = houseA;
            this.houseB = houseB;
            this.cost = cost;
        }
    }

    static int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }
}