문제
https://www.acmicpc.net/problem/2512
국가의 역할 중 하나는 여러 지방의 예산요청을 심사하여 국가의 예산을 분배하는 것이다. 국가예산의 총액은 미리 정해져 있어서 모든 예산요청을 배정해 주기는 어려울 수도 있다. 그래서 정해진 총액 이하에서 가능한 한 최대의 총 예산을 다음과 같은 방법으로 배정한다.
모든 요청이 배정될 수 있는 경우에는 요청한 금액을 그대로 배정한다.
모든 요청이 배정될 수 없는 경우에는 특정한 정수 상한액을 계산하여 그 이상인 예산요청에는 모두 상한액을 배정한다. 상한액 이하의 예산요청에 대해서는 요청한 금액을 그대로 배정한다.
예를 들어, 전체 국가예산이 485이고 4개 지방의 예산요청이 각각 120, 110, 140, 150이라고 하자. 이 경우, 상한액을 127로 잡으면, 위의 요청들에 대해서 각각 120, 110, 127, 127을 배정하고 그 합이 484로 가능한 최대가 된다.
여러 지방의 예산요청과 국가예산의 총액이 주어졌을 때, 위의 조건을 모두 만족하도록 예산을 배정하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에는 지방의 수를 의미하는 정수 N이 주어진다. N은 3 이상 10,000 이하이다. 다음 줄에는 각 지방의 예산요청을 표현하는 N개의 정수가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이 값들은 모두 1 이상 100,000 이하이다. 그 다음 줄에는 총 예산을 나타내는 정수 M이 주어진다. M은 N 이상 1,000,000,000 이하이다.
출력
첫째 줄에는 배정된 예산들 중 최댓값인 정수를 출력한다.
예제 입력 1
4
120 110 140 150
485
예제 출력 1
127
예제 입력 2
5
70 80 30 40 100
450
예제 출력 2
100
접근
이분 탐색임이 명확한 문제였다. 양의 정수 범위 내에서 조건에 맞는 상한액을 찾아야 하기 때문.
다만 각 탐색마다 배열을 돌면서 예산 배분 총합을 계산한 후에 M과 비교해야 한다는 것 정도가 일반적인 이분 탐색과의 차이였다.
이 문제에서 가장 중요한 것은
- 예산을 배분할 수 있는 모든 경우의 수 중에서 M을 넘지 않으면서 가장 큰 값을 찾아야 한다.
-> Upper Bound를 찾는 문제.- 상한액 이분 탐색의 left 초기 값이 각 지방의 예산 요청 중 최솟값이 아니다.
->
입력이4 100 100 100 100 10와 같이 주어진 경우,
즉 총 예산인 M 값이 지방의 예산 요청의 최솟값보다도 작은 경우에는 각 지방에 그 최솟값만큼도 분배를 해줄 수가 없다. 따라서 M 값에 맞춰 left 초기 값이 설정되어야 한다.
M의 최솟값이 N이라고 조건에 나와 있으므로 M == N일 때의 상한액, 즉1을 left 초기 값으로 설정해야 한다.
(right 초기 값은 예산 요청 중 최댓값이 맞다. 요청한 금액보다 많이 배정하는 경우는 없기 때문.)
처음에 그냥 단순하게 생각해서 상한액이 예산 요청의 최댓값과 최솟값이 각각 상한액의 최댓값과 최솟값이 될 거라고 생각했었는데, 아닌 경우도 있었다....!
구현
import java.io.*;
import java.util.*;
class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int N = Integer.parseInt(br.readLine());
int[] requests = new int[N];
int total = 0;
int max = 0;
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
for (int i = 0; i < N; i++) {
requests[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
total += requests[i];
max = Math.max(max, requests[i]);
}
int M = Integer.parseInt(br.readLine());
if (total <= M) {
System.out.println(max);
return;
}
int min = 1;
int mid;
while (min <= max) {
mid = (min + max) >> 1;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
if (requests[i] < mid) {
sum += requests[i];
} else {
sum += mid;
}
}
if (M < sum) {
max = mid - 1;
} else {
min = mid + 1;
}
}
System.out.println(max);
}
}
Appendix
이분 탐색의 Upper Bound와 Lower Bound에 대해서 스터디 때 그냥 흘려 듣기만 하고 제대로 공부를 안 했었는데 오늘 이 문제를 풀면서 정리해 보았다.
일반적인 이분 탐색
가능한 key 값이 오직 하나인 경우, 그 key 값을 찾기 위해 사용한다.
public static int binarySearch(int[] arr, int start, int end, int key) {
int low = start;
int high = end;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) >> 1;
if (arr[mid] == key) {
return mid;
} else if (arr[mid] > key) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1; // 해당 값을 찾지 못한 경우
}Upper Bound와 Lower Bound
탐색 조건을 만족시키는 값이 여러 개일 때, 그 값들 중 가장 큰 값 혹은 가장 작은 값을 찾고자 할 때 사용한다.
Upper Bound
key 값 이하이면서 가능한 가장 큰 값을 찾을 때 사용한다.
public static int upperBound(int[] arr, int start, int end, int key) {
int low = start;
int high = end;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) >> 1;
if (arr[mid] > key) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return high;
}Upper Bound를 찾을 때는 key보다 작은 값을 찾았을 때 high 값을 고정시킨 상태로 low 값을 증가시키며 더 큰 값을 탐색한다.
Lower Bound
key 값 이상이면서 가능한 가장 작은 값을 찾을 때 사용한다.
public static int lowerBound(int[] arr, int start, int end, int key) {
int low = start;
int high = end;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) >> 1;
if (arr[mid] < key) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return low;
}Lower Bound를 찾을 때는 key 보다 큰 값을 찾았을 때 low 값을 고정시킨 상태로 high 값을 줄여 나가며 더 작은 값을 탐색한다.
