문제
요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.
PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다. 각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.
전설카드
레드카드
오렌지카드
퍼플카드
블루카드
청록카드
그린카드
그레이카드
카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, ... 카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.
민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.
예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.
P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다.
마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다.
카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다. 즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.
입력
첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)
둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)
출력
첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.
예제 입력 1
4
1 5 6 7
예제 출력 1
10
예제 입력 2
5
10 9 8 7 6
예제 출력 2
50
예제 입력 3
10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
예제 출력 3
55
예제 입력 4
10
5 10 11 12 13 30 35 40 45 47
예제 출력 4
50
예제 입력 5
4
5 2 8 10
예제 출력 5
20
예제 입력 6
4
3 5 15 16
예제 출력 6
18
접근
그냥 무작정 생각 없이 접근했다가 완전히 말도 안 되게 구현을 했었다...
dp[i]에 P1부터 Pi까지의 카드팩에서 N장의 카드를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 저장하려고 했던 거다. 그런데 이렇게 메모이제이션을 하면 부분 문제로 분할이 안 된다는 생각을 안 했다;;...
만약 N이 10일 때, P7 카드팩을 1개 구매했다고 가정해보자. 그럼 이제 나머지 3장을 어떤 카드팩을 통해서 구매해야 할지를 결정해야 한다. 그런데 dp 배열에는 10장의 카드를 구매하기 위한 금액만 저장해둔 상황인데 3장을 구매하기 위한 최댓값을 어떻게 구하느냐는 말이다. 이렇게 접근하려면 각 i 값마다 1장 구매 시 최대 지불 금액, 2장 구매 시, 3장 구매시, ... 이런 식으로 N장 구매 시 최대 지불 금액까지 저장을 따로 해야 된다. 아무리 생각해도 2차원 배열을 쓰는 건 비효율적이다 싶어서 다시 생각해보니 접근을 잘못한 거였다.
dp[i]에 i장의 카드를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 저장하면, 문제를 부분 문제로 쉽게 분할할 수 있다.
(Pi를 구매하는데 필요한 최대 액수) + (Pi 제외 나머지 카드 구매를 위해 필요한 최대 액수)
이런 식으로 말이다.
(Pi를 구매하는데 필요한 최대 액수)는 Pi를 몇 개 구매하느냐에 따라 달라질 것이다. 따라서 Pi 구매 개수에 따라 위 수식의 값을 각각 구하면, 그 중 최댓값이 바로 i장의 카드를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값이 된다.
구현
import java.io.*;
import java.util.*;
class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int N = Integer.parseInt(br.readLine());
int[] P = new int[N + 1];
int[] dp = new int[N + 1];
// dp[i]: i장의 카드를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
for (int i = 1; i <= N; i++) {
P[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
// dp 배열 초기화: P1 카드팩만으로 i개를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액
dp[i] = P[1] * i;
}
// P[1]부터 P[i]까지의 카드팩에서 j장의 카드를 구매하기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값 갱신
for (int i = 2; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= N; j++) {
// e: P[i]를 구매하는 횟수
for (int e = 1; e * i <= j; e++) {
if (j - e * i > j) {
continue;
}
dp[j] = Math.max(dp[j], P[i] * e + dp[j - e * i]);
}
}
}
System.out.println(dp[N]);
}
}
위 코드에서
if (j - e * i > j) {
continue;
}부분을 삭제하니 184ms로 더 오래 걸리는 것을 확인할 수 있었다. j - e * i가 j보다 클 때 dp[j - e * i] 값은 최댓값으로 갱신되기 이전 값이기 때문에 어차피 이 값을 참조해 최댓값을 갱신하려고 시도하더라도 최댓값일 리가 없다. 따라서 이 경우에는 하단의 dp[j] 갱신을 위한 코드를 실행하지 않고 넘어가는 것이 더 효율적이라 그런 것 같다.
