문제

https://www.acmicpc.net/problem/5557

상근이가 1학년 때, 덧셈, 뺄셈을 매우 좋아했다. 상근이는 숫자가 줄 지어있는 것을 보기만 하면, 마지막 두 숫자 사이에 '='을 넣고, 나머지 숫자 사이에는 '+' 또는 '-'를 넣어 등식을 만들며 놀고 있다. 예를 들어, "8 3 2 4 8 7 2 4 0 8 8"에서 등식 "8+3-2-4+8-7-2-4-0+8=8"을 만들 수 있다.

상근이는 올바른 등식을 만들려고 한다. 상근이는 아직 학교에서 음수를 배우지 않았고, 20을 넘는 수는 모른다. 따라서, 왼쪽부터 계산할 때, 중간에 나오는 수가 모두 0 이상 20 이하이어야 한다. 예를 들어, "8+3+2-4-8-7+2+4+0+8=8"은 올바른 등식이지만, 8+3+2-4-8-7이 음수이기 때문에, 상근이가 만들 수 없는 등식이다.

숫자가 주어졌을 때, 상근이가 만들 수 있는 올바른 등식의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력
첫째 줄에 숫자의 개수 N이 주어진다. (3 ≤ N ≤ 100) 둘째 줄에는 0 이상 9 이하의 정수 N개가 공백으로 구분해 주어진다.

출력
첫째 줄에 상근이가 만들 수 있는 올바른 등식의 개수를 출력한다. 이 값은 263-1 이하이다.

예제 입력 1
11
8 3 2 4 8 7 2 4 0 8 8
예제 출력 1
10

예제 입력 2
40
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
예제 출력 2
7069052760

접근

처음에 DFS로 구하려고 했지만 역시나 턱도 없었고...
arr[0]부터 arr[i]까지의 수들로 어떤 수를 만들 수 있는 경우의 수를 구하기 위해서는 arr[0]부터 arr[i - 1]까지의 수들로 만들 수 있는 경우의 수를 이용해야 할 거라고 생각해서 dp로 해결할 수 있겠구나 생각했다. 그래서 dp[i][j]에 arr[0]부터 arr[i]까지의 수들로 j를 만들 수 있는 가짓수를 메모이제이션해서 구현했다.

숫자들 사이에는 + 혹은 -만 넣을 수 있기 때문에 dp[i][j]의 값, 즉 arr[0]부터 arr[i]까지의 수들로 j를 만들기 위한 방법으로는 다음의 두 가지가 있다.

1. (arr[0]부터 arr[i-1]까지의 수들을 조합해 만든 수) + arr[i] = j가 되도록 만들기
   -> 이때는 arr[0]부터 arr[i-1]까지의 수들을 조합해 만든 수가 j - arr[i] 이면 된다. 즉, dp[i - 1][j - arr[i]]의 값과 일치한다.

2. (arr[0]부터 arr[i-1]까지의 수들을 조합해 만든 수) - arr[i] = j가 되도록 만들기
   -> 이때는 arr[0]부터 arr[i-1]까지의 수들을 조합해 만든 수가 j + arr[i] 이면 된다. 즉, dp[i - 1][j + arr[i]]의 값과 일치한다.

1번과 2번을 통해 구한 가짓수를 더한 값이 최종적인 dp[i][j]의 값이 될 것이다. 따라서,
dp[i][j] = dp[i - 1][[j - arr[i]] + dp[i - 1][[j + arr[i]]
라는 점화식을 세울 수 있다.

계산의 중간 결과가 0 이상 20 이하의 범위를 벗어나는 경우는 존재하지 않기 때문에 이렇게 되는 경우는 0을 리턴해주었다.

구현

import java.io.*;
import java.util.*;

class Main {
    static int[] arr;
    static long[][] dp;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int N = Integer.parseInt(br.readLine());
        arr = new int[N];
        dp = new long[N - 1][21]; // dp[i][j]: arr[0]부터 arr[i]까지의 수들로 j를 만들 수 있는 가짓수
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
            Arrays.fill(dp[i], -1);
        }
        arr[N - 1] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        dynamicProgramming(N - 2, arr[N - 1]);
        System.out.println(dp[N - 2][arr[N - 1]]);
    }
    
    private static long dynamicProgramming(int idx, int num) {
        if (num < 0 || num > 20) {
            return 0;
        }
        if (dp[idx][num] == -1) {
            if (idx == 0) {
                dp[0][num] = (arr[0] == num)? 1 : 0;
            } else {
                dp[idx][num] = dynamicProgramming(idx - 1, num - arr[idx]);
                dp[idx][num] += dynamicProgramming(idx - 1, num + arr[idx]);
            }
        }

        return dp[idx][num];
    }
}