최단 경로 - 다익스트라 알고리즘

이말감·2022년 4월 25일
다익스트라
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알고리즘

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가장 빠른 길 찾기

가장 빠르게 도달 하는 방법

최단 경로 알고리즘

  • 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
    -> 길 찾기 문제라고도 불린다.

  • 최단 거리 알고리즘
    다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘

  • 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

  • '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작

    • 음의 간선 : 0보다 작은 값을 가지는 간선
      (현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택)

  • 다익스트라 알고리즘의 원리

  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

  • 다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

    • 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

  • 다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법

  1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
  2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
  • 다익스트라 알고리즘의 동작 원리
    : 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복
    -> 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.
    -> 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
    그렇기 때문에 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

  • 간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V2)O(V^2)의 시간 복잡도를 가진다.
    • 여기서 V는 노드의 개수
  • 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언
  • 이후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색) 한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node() :
    min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n+1) :
        if distance[i] < min_value and not visited[i] :
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def solution(start) :
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start] :
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개 노드에 대해 반복
    for _ in range(n-1) :
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now] :
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]] :
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
solution(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1) :
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(Infinity)이라고 출력
    if distance[i] == INF :
        print("infinity")
    else :
        print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

  • O(V2)O(V^2)
  • 총 O(V)O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문
  • 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제 풀 수 있음
  • 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

  • 간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도 O(V2)O(V^2)

    • 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 (모든 원소를 앞에서 부터 하나씩) 탐색해야 했다.
    • 이 과정에서만 O(V)O(V)의 시간이 걸렸다.

  • 하지만 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용하면 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다. (V : 노드의 개수, E : 간선의 개수)

    • 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 빠르게 찾아본다면 알고리즘의 시간 복잡도를 더욱 줄일 수 있을 것이다.

  • 개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙 자료구조를 사용한다.

  • 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.

    • 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

힙(heap) 설명

  • 힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나다.

우선순위 큐 (Priority Queue)

  • 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다.
  • 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다.
    • 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인하는 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.

PriorityQueue, heapq

  • 파이썬에서 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있다.
  • 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다.
  • 다만, PriorityQueue보다 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행시간이 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.

우선순위 값 표현

  • 우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다.
  • 물건의 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정해보자.
  • 그러면 모든 물건 데이터를 (가치, 물건)으로 묶어서 우선순위 큐 자료구조에 넣을 수 있다.
  • 이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다.
    (우선순위 큐가 최대 힙으로 구현되어 있을 때를 가정. 최대 힙을 이용하는 경우, 값이 큰 데이터가 먼저 추출된다.)
  • 대부분의 프로그래밍 언어에서 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다.
  • 따라서 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 '가치' 값이 우선순위 값이 되는 것이다.

최소 힙 혹은 최대 힙

  • 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다.
  • 최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'
  • 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
  • 또한 최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호 (-)를붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호를 (-) 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.

우선순위 큐를 구현하는 다양한 방법

  • 우선순위 큐를 구현할 때는 힙 자료구조를 이용하지만, 단순히 리스트를 이용해서 구현할 수도 있다.
  • 데이터의 개수가 N개일 때, 리스트를 이용해서 우선순위 큐의 기능을 구현하기 위해서는 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우 O(N)O(N)의 시간이 소요된다.
우선순위 큐 구현 방식삽입 시간삭제 시간
리스트O(1)O(1)O(N)O(N)
힙(Heap)O(logN)O(logN)O(logN)O(logN)

정리

  • 최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있다.
  • 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다.

개선된 다익스트라 알고리즘

  • 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다.
  • 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이므로 0이다.
    • (거리: 0, 노드: 1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
  • 파이썬에서는 heapq 라이브러리를 사용하고, heapq는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.
    • 따라서 (거리, 노드 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.
  • 파이썬에서 표준 라이브러리로 제공하는 PriorityQueue와 heapq는 데이터의 개수가 N개일 때,하나의 데이터를 삽입 및 삭제할 때의 시간 복잡도는 O(logN)O(logN)이다.
  • 간단한 다익스트라 알고리즘의 코드와 비교했을 때 get_smallest_node라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.
    • 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def solution(start) :
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    # 큐가 비어있지 않다면
    while q : 
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist :
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now] :
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]] :
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
solution(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1) :
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF :
        print("무한")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else :
        print(distance[i])
        print()

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

  • 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도가 O(ElogV)O(ElogV)로 훨씬 빠르다.

우선순위 큐를 이용한 방식이 훨씬 빠른 이유

  • 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.
  • 큐에서 노드를 하나씩 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다.
  • 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다.
  • 따라서 '현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인'하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
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