플로이드 워셜 알고리즘

• '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘

다익스트라와 플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 알고리즘

• 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택
• 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작
• 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트를 사용했다.
• 그리디 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

• 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘 수행
• 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다.
  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 $O(N^2)$의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐가는' 모든 경로를 고려한다.
    • 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간복잡도는 $O(N^3)$이다.
• 다익스트라 알고리즘과 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있다.
  • 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다.
  • 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 $O(N^2)$의 시간이 소요된다.
• 다이나믹 알고리즘
  • 노드의 개수가 N개일 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.

점화식

• 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐가는 경우를 고려한다.

• 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다.
  • 정확히는 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다.
  • 현재 최단 거리 테이블에 A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용이 3으로 기록되어 있을 때, A번 노드에서 1번 노드를 거쳐 B번 노드로 이동하는 비용이 2라는 것이 밝혀지면, A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용을 2로 갱신하는 것이다.
• 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N-1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B) 쌍을 선택한다.
• 이후 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다.
  • $_{N+1} P_{2}$ 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다.

• 이때 $O(_{N+1} P_{2})$은 $O(N^2)$ 이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 $O(N^3)$ 이라고 할 수 있다.
• k번의 단계에 대한 구체적인 점화식은 $D_{ab} = min(D_{ab},\;D_{ak} + D_{kb})$ 이다.
  • 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다.
  • 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다.
    • '바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다.

import sys
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 그래프(리스트 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1) :
    for b in range(1, n+1) :
        if a == b :
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m) :
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1) :
    for a in range(1, n+1) :
        for b in range(1, n+1) :
            graph[a][b] = min(graph[a][b],  graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1) :
    for b in range(1, n+1) :
        # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF :
            print("INF", end=" ")
        else :
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()