Chap1. Probability and Distributions

Introduction

Statistical experiment:
Outcome that cannot be predicted with certainty prior to the experiment
통계적 실험: 100%확신을 가지고 예상을 못하는 실험
통계적 실험은 변동(variational)을 가짐
Ex)과학적 사실(deterministic) #ne 통계적 실험

Sample space(표본공간 C)

Event(표본공간의 부분집합)

Ex 1.1.1 동전 던지기 -> Tossing a coin: C = {H,T}
Ex 1.1.2 주사위 2개 -> e = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)
...

Remark 1.1.1

확률의 2가지 형태

Relative Frequency(상대 도수 = 객관적): 여러번 시도하여 얼마나 나오는가
Personal or subjective(주관적)

1.2 집합이론(set theory)

Def 1.2.1

$C_1 \subset C_2$
의미: $C_1$은 $C_2$의 subset(부분집합)이다.

Def 1.2.2

null(empty) set: $\phi$
의미: 비어있는 집합(공집합)

Def 1.2.3

$C_1 \cup C_2$ :두 집합의 합집합

$C_1 \cup C_2 \cup C_3 \cup C_4 \cdot\cdot\cdot$ := $\bigcup_{k=1}^ \infin C_k$: $\bigcup$ 은 유니온의 문자로, 1~k까지의 합집합을 표현

ex 1.2.1
$C_k$ = {x: ${1\over(k+1)}\le x <= 1$}

==> $\bigcup_{k=1}^\infin C_k > 0$

i.e. $\forall k$, ${1\over(k+1)} > 0$

=> ${x: 0 < x \le 1}$ ($\epsilon-\delta$ operation)

Def 1.2.4

$C_1 \cap C_2$
의미: 교집합
$C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cap C_4 \cdot\cdot\cdot$ := $\bigcap_{k=1}^ \infin C_k$

ex.1.2.2

$C_k$ = {$x: 0< x < {1 \over k}$}
==> $\bigcap_{k=1}^\infin C_k = \phi$
$\forall x,\ k>0$
$s.t. {1 \over k} < x$

Def 1.2.5

$C_c\ =\ \bar{C}$: C가 아닌 부분 = complement(여집합)

• Function

1. Point function: domain이 point
2. set function : domain이 set

ex.1.2.3
1) point func,
$f(x) = 2x$ => $f(2) = 2 * 2 = 4$
2) set func,
$f(A)$ = # of positive integers in $A$
A = ${x: -\infin < x < 6}$ => $f(A) = 5$

ex)
$\int_cf(x)dx$
$\int_{c_2}\int_{c_1}f(x,y)dxdy$
$\int\int\int \cdot\cdot\cdot$ $f(x_1, x_2, \cdot\cdot\cdot x_k)dx_1\cdot dx_2\cdot\cdot\cdot dx_k$ ==> k-fold integration

##1.3 The Probability Set Function

Def 1.3.1

$\sigma-field$ (장)
$B$: 표본공간의 모든 부분집합을 모은 것
$B$가 $\sigma-field$가 되기 위한 조건
(1) $\phi \in B$
(2) $c \in B$ ==> $C^c \in B$ ==> closed under complement: 여사건의 성질에 대해 닫혀있다.
(3) $C_1, C_2, \cdot\cdot\cdot \in B$ ==> $\bigcup_{k=1}^\infin C_k \in B$
$\bigcup_{k=1}^\infin$ -> Countable union(One to One Correspondence integers(Closed under countable Union)

Examples of $\sigma - field$
(1) $B$ = {$\phi, C, C^c, S$}
(2) $B$: Power set of $S$(power set 이란 표본공간의 모든 부분 집합)
(3) $B$ = $\bigcap_{i=1}^\infin {\epsilon_i: D \in \epsilon_i \ is \ a \ \ \sigma-field}$
==> $\sigma-field\ generated\ by\ D$

Def 1.3.2(probability)

$C$: sample space
$B$: $\sigma-field$ on C
$P$: real-valued function
*$P$: probability of function if
1. $P(c) >0$ , $\forall \subset C$ => non-negativity
2. $P(S) = 1$ => normality
3. $C_1, C_2, \cdot\cdot\cdot \in B$, $C_i \cap C_j = \phi$, $\forall i \ne j,$
$P(\bigcup_{i=1}^\infin C_i) = \sum_{i=1}^nP(C_i)$=> countable additivity

* Countable Additivity를 활용한 정리
$Thm\ 1.3.1$
$P(C)= 1 - P(C^c), \forall \in B$
$(pf)$
$\ C = C\cup C^c,\ C \cap C^c = \phi$
$P(C) = P(C \cup C^c) \\ 1 = P(C) + P(C^c)\ (by \ countable\ additivity)$