대응표본검정

대응 표본 검정 (Dependent or Paired Sample t-test)

동일한 개체나 관련된 개체에서 두 가지 조건을 비교할 때 사용하는 통계 분석 방법
두 표본이 독립적이지 않고 서로 연관되어 있을 때, 즉 짝을 이루는 데이터를 다루는 데 적합
대응표본검정은 주로 두 시점 또는 두 조건에서 측정된 동일한 대상들 간의 차이를 분석할 때 사용

대응표본검정의 특징

1. 연관된 표본:

   • 두 표본이 독립적이지 않고, 같은 대상에서 다른 시간대나 조건에서 데이터를 수집했을 때 적용

2. 차이값에 대한 분석:

   • 대응표본검정은 두 표본의 차이값(각 짝의 차이)을 구해 그 차이가 통계적으로 유의미한지 여부 분석
     즉, 검정은 두 표본 간의 평균 차이가 0인지 아닌지를 판단

3. 가정:

   • 정규성 가정: 두 표본의 차이값이 정규분포를 따른다고 가정
     만약 차이값이 정규분포를 따르지 않는다면, 비모수 검정인 윌콕슨 부호 순위 검정(Wilcoxon signed-rank test)을 사용
   • 연속형 데이터: 대응표본 t-검정은 일반적으로 연속형 데이터에 사용

대응표본검정의 과정

1. 귀무가설(H₀): 두 조건 또는 시점 간에 차이가 없다. 즉, 평균 차이가 0이다.

   • $H_0: \mu_d = 0$ (여기서 $\mu_d$는 차이값의 평균)

2. 대립가설(H₁): 두 조건 또는 시점 간에 차이가 있다. 즉, 평균 차이가 0이 아니다.

   • $H_1: \mu_d \neq 0$

3. 검정통계량 계산: 대응표본의 각 쌍의 차이를 계산한 후, 이 차이값들의 평균을 기준으로 t-값을 계산

   $t = \frac{\overline{d}}{(s_d / \sqrt{n})}$

   여기서,

   • $\overline{d}$는 차이값들의 평균
   • $s_d$는 차이값들의 표준편차
   • $n$은 표본의 크기

4. p-값 계산 및 가설 검정: t-값을 통해 대응하는 p-값을 계산하여 귀무가설을 기각할지 여부를 결정
   일반적으로 유의수준 $(alpha)$ 은 0.05로 설정
   p-값이 유의수준보다 작으면, 두 조건 간에 유의미한 차이가 있다고 결론

대응표본검정의 예시

1. 시험 전후 성적 변화
2. 의료 연구
3. 고객 만족도 조사

대응표본검정의 장점과 단점

장점:

• 같은 개체에서 데이터를 수집하므로, 개체 간의 변동을 최소화하여 더 정확한 결과를 얻을 수 있음
• 집단 간의 차이를 비교할 때 보다 더 신뢰할 수 있는 통계 결과를 제공

단점:

• 대응 표본이 반드시 동일한 개체에서 수집된 것이어야 하므로, 실험 설계에 제약
• 정규성 가정이 충족되지 않으면 결과의 신뢰도가 낮아질 수 있으며, 정규성 검정 및 대체 검정 방법이 필요

이 검정은 주로 실험 전후 데이터를 분석하거나 같은 대상에 대해 두 가지 조건을 비교할 때 유용

문제 풀기 1

문제

10명의 학생들을 대상으로 기존의 교육과 새로운 교육 방법을 적용한 결과에 대해 유의수준 5%에서 새로운 교육 방법이 교육 시간을 단축 시켰는가 (단 모집단은 정규 분포를 가정함)

• $\mu_d$ = (새로운 방법 - 기존 방법)의 평균
• 귀무가설($H_0$): $\mu_d$ = 0
• 대립가설($H_1$): $\mu_d$ < 0

1. $\mu_d$의 표본 평균을 구하시오.
2. 위의 가설을 검정하기 위한 검정 통계량을 구하시오.
3. 위의 통계량에 대한 p-value를 구하시오.
4. 유의수준 0.05하에서 귀무가설을 기준으로 검정의 결과 채택

1. 데이터 불러오기

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({
    'User': list(range(1,11)),
    '기존방법': [60.4, 60.7, 60.5, 60.3, 60.8, 60.6, 60.2, 60.5, 60.7, 60.4],
    '새로운방법':[59.8, 60.2, 60.1, 59.9, 59.7, 58.4, 57.0, 60.3, 59.6, 59.8]
})

df.head(2)

2. $\mu_d$ 평균 구하기

method 1

from scipy import stats
m = df['새로운방법'].mean() - df['기존방법'].mean() 
m

method 2

df['diff'] = df['새로운방법'] - df['기존방법']
print(df['diff'].mean())

대응 표본 t-검정

t, p = stats.ttest_rel(df['새로운방법'], df['기존방법'], alternative = 'less')
print(t,p)

• 귀무가설 기각, 효과가 있다.

정답

1. -1.0300000000000082
2. -3.407973078114844
3. 0.0038872633380070652
4. 기각

문제풀기 2

문제

주어진 데이터는 고혈압 환자 치료 전후의 혈압이다. 해당 치료가 효과가 있는지 대응(쌍체)표본 t-검정을 진행하시오

• 귀무가설(H0): >= 0
• 대립가설(H1): < 0
• $\mu$= (치료 후 혈압 - 치료 전 혈압)의 평균
• 유의수준: 0.05

1. $\mu$의 표본평균은?(소수 둘째자리까지 반올림)
2. 검정통계량 값은?(소수 넷째자리까지 반올림)
3. p-값은?(소수 넷째자리까지 반올림)
4. 가설검정의 결과는? (유의수준 5%)

import pandas as pd
df = pd.read_csv("/kaggle/input/bigdatacertificationkr/high_blood_pressure.csv")

df.head() # 데이터 확인하기

# 1. 표본평균 구하기(반올림)
m = round((df['bp_post'] - df['bp_pre']).mean(),2)
m

#2,3검정통계량 구하기
from scipy import stats
t,p = stats.ttest_rel(df['bp_post'], df['bp_pre'], alternative = 'less')
print(round(t,4)) # 검정 통계량
print(round(p,4)) # p-value

#4. 가설 검정 결과
#귀무가설 기각 대립가설 채택 -> 효과 있다

출처: https://www.kaggle.com/code/agileteam/t3-example

업로드한 수식은 대응표본 t-검정에서 사용하는 수식으로 보입니다. 아래와 같이 설명드리겠습니다:

• $\overline{d}$: 대응된 두 데이터 간의 평균 차이
• (s_d): 차이의 표준편차
• (n): 데이터 쌍의 개수

이 수식은 대응표본의 평균 차이가 통계적으로 유의미한지 검정하기 위해 사용됩니다. 추가 설명이 필요하시면 말씀해주세요! 😊