문제

문제 설명

가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.

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제한사항

• W, H : 1억 이하의 자연수

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입출력 예

W	H	result
8	12	80

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입출력 예 설명

입출력 예 #1
가로가 8, 세로가 12인 직사각형을 대각선 방향으로 자르면 총 16개 정사각형을 사용할 수 없게 됩니다. 원래 직사각형에서는 96개의 정사각형을 만들 수 있었으므로, 96 - 16 = 80 을 반환합니다.

풀이

나의 풀이

w와 h는 1억 이하의 자연수 -> 절대로 반복문을 사용하지 말 것!
=> 수학적으로 접근해야 한다.

(질문하기 참고)
위의 그림에서 흰색 정사각형의 모양이 동일하게 반복되는 것을 볼 수 있다. 따라서 w와 h의 최소공약수로 나눈 w'와 h'로 모양을 축소할 수 있다.(즉, 아래와 같은 상태)

w' = 2, h' = 3 인 상태에서 대각선이 지나간 정사각형의 개수는 w' + h' -1 이다. 즉, 1은 2와 3의 최소공약수이고, 원래대로면 w + h - (최소공약수) 이다.

import Foundation

func solution(_ w:Int, _ h:Int) -> Int64{
    return Int64(w * h - (w + h - (gcd(w, h))))
}

func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b)
}

정확성	테스트	정확성	테스트
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다른 사람의 풀이

import Foundation

func gcd(_ a:Int, _ b:Int) -> Int64{
    if a == 0 { return Int64(b) }
    return gcd(b%a,a)
}

func solution(_ w:Int, _ h:Int) -> Int64{
    var w64:Int64 = Int64(w)
    var h64:Int64 = Int64(h)
    return w64*h64-w64-h64+gcd(w,h)
}

정확성	테스트	정확성	테스트
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후기

이번 문제는 for 문이 나 while 문을 사용하면 시간 초과될 가능성이 있는 문제라는 걸 알고 수학적으로 접근해 보려고 했다.

문제에 직각삼각형이 언급돼서 빗변 길이와 연관되어 있는 줄 알고 시도해 봤지만 틀렸고, 결국 질문하기에서 힌트를 얻어서 문제를 해결했다. 최소 공약수와 관련되었을 줄은 상상도 못했다.

최소 공약 수하면 유명한 GCD 알고리즘은 꼭 알고 있자.