문제

19세기 독일 수학자 헤르만 민코프스키는 비유클리드 기하학 중 택시 기하학을 고안했다.

택시 기하학에서 두 점 T1(x1,y1), T2(x2,y2) 사이의 거리는 다음과 같이 구할 수 있다.

D(T1,T2) = |x1-x2| + |y1-y2|

두 점 사이의 거리를 제외한 나머지 정의는 유클리드 기하학에서의 정의와 같다.

따라서 택시 기하학에서 원의 정의는 유클리드 기하학에서 원의 정의와 같다.

원: 평면 상의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합

반지름 R이 주어졌을 때, 유클리드 기하학에서 원의 넓이와, 택시 기하학에서 원의 넓이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 반지름 R이 주어진다. R은 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에는 유클리드 기하학에서 반지름이 R인 원의 넓이를, 둘째 줄에는 택시 기하학에서 반지름이 R인 원의 넓이를 출력한다. 정답과의 오차는 0.0001까지 허용한다.

풀이

먼저 결론적인 부분을 얘기하자면, 일반적인 원의 넓이는 (파이 x $R^2$)이며, 택시기하학의 원의 넓이는 (2 x $R^2$)이다. 따라서 이 공식대로 출력해주면 된다.

[맨해튼 거리] 위키피디아에 따르면

맨해튼 거리의 원은 중심 점에서 반지름 이라고 불리는 일정한 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합이다. 유클리드 기하학과 맨해튼 거리의 원은 모양이 다르다. 맨해튼 거리에서 원은 좌표의 축으로 45° 기울어진 정사각형이다. 모눈의 크기가 줄어들면 수많은 점들은 연속적인 정사각형의 모양을 만드는데, 유클리드 거리를 이용한 각 변이 길이가 √2r이면 이 원의 반지름은 r이다. 각 변의 길이를 맨해튼 거리로 측정한 값은 2r이 된다.

즉, 맨해튼 거리(택시 기하학)의 원의 넓이는 정사각형으로 구성된 부분의 넓이를 구하면 되는데 왜 (2 x $R^2$)이 넓이를 뜻하는 것인가?

이는 참고 사이트를 보며 이해하기를 바란다...

주어지는 반지름의 2배를 하면 정사각형의 대각선의 길이가 된다. 정사각형의 대각선의 길이는 (한변의 길이 x √2) 이다. 이를 이용하여 넓이를 구하면, (2r = √2xa) 에서 양쪽 제곱을 하면 ($4r^2$ = $2a^2$)이 되고 양변을 2로 나누면
($2r^2$ = $a^2$) 가 된다. 즉, (2 x $R^2$) = $a^2$ 정사각형의 넓이가 되므로 해당 공식으로 구할 수 있는 것이다.

소스

import java.util.*;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		int r = sc.nextInt();

		System.out.println(r * r * Math.PI);
		System.out.println(2 * r * r);

	}

}