문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

풀이

이 문제는 배낭 문제로서 다이나믹프로그래밍으로 풀어야 하는 문제이다. 배낭에 넣을 수 있는 무게는 정해져있고, 정해진 무게내에서 제일 큰 가치가되도록 찾아야 한다.

배낭문제는 2가지로 나누어질 수 있는데, 짐을 쪼깰 수 있는 경우와 쪼갤수 없는 경우 즉, 무게를 나눌 수 있는지 없는지에 따라 알고리즘이 달라진다.
쪼갤 수 있는 경우 그리디 알고리즘을 사용하여 풀 수 있지만 쪼갤 수 없는 경우에 그리디를 사용하면 항상 최적해를 구한다고 보장할 수 없다. 그래서 짐을 쪼갤 수 없는 배낭문제는 0/1 배낭(Knapsack) 문제이고 이는 DP를 사용하여 풀 수 있다.

이제 문제에 예시를 가지고 표를 만들어 이해를 해보자.

N = 4 : 물건의 갯수
K = 7 : 배낭이 수용 가능한 최대 무게
W [i] = {6, 4, 3, 5}
V [i] = {13, 8, 6, 12}

dp [i] : i의 수용가능한 무게의 가치

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1
2
3
4

---

무게가 0일 때부터 표를 채워 놓으면, dp[0] , dp[1] , dp[2] 까지는 넣을 수 있는 물건이 없기 때문에 0으로 채운다.

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0
2	0	0	0
3	0	0	0
4	0	0	0

---

무게가 3일때 채울 수 있는 것은 i=3인 물건이다. 여기서 i=4일때에도 i=3과 같은 값이 들어갔는데, 그 이유는 i=4인 무게는 W[4] = 5인데, 무게가 3일 때이기 때문에 채울 수 없다. 따라서 이전 i=3에 대해 채워진 가치가 최대이기 때문에 이전 값이 그대로 채워진 것이다.

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0
2	0	0	0	0
3	0	0	0	6
4	0	0	0	6

---

무게가 4일 때, i=2의 물건이 담길 수 있다.

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	8
3	0	0	0	6	8
4	0	0	0	6	8

---

무게가 5일 때,

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	8	8
3	0	0	0	6	8	8
4	0	0	0	6	8	12

---

무게가 6일 때,

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	0	0	13
2	0	0	0	0	8	8	13
3	0	0	0	6	8	8	13
4	0	0	0	6	8	12	13

---

무게 7일 때, 무게가 7인 것을 넣거나 무게가 6인 물건에 무게가 1인 물건을 더하는 조합을 볼 수 있다. 즉, 7을 만들 수 있는 무게의 조합이 있는 것이다.

i=3 일때를 보자. 이전 dp[7] = i=2일때의 가치 13이 들어가 있는 상태이다. i=3은 무게가 3이고 가치가 6이다. 그러면 남은 무게는 7 - 3 = 4 이고, 4무게에 해당하는 이전 i-1의 값은 8이다. 즉, 6+8 = 14 > 13 이기때문에 14로 채워질 수 있다.

i / dp	0	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	0	0	13	13
2	0	0	0	0	8	8	13	13
3	0	0	0	6	8	8	13	14
4	0	0	0	6	8	12	13	14

---

점화식을 세우자면 N=0 이고 K=0일 때는 0이 들어가며 W[i] > k 일때는 이전 값이 W[i] 가 K 이하일 때는 이전에 담긴 가치와 남은 무게에 대응하는 가치에 + 현재 가치 중 최대값이 들어간다. 코드를 보면 이해가 될 것이다.

<참고>
https://st-lab.tistory.com/141

소스

import java.util.*;

public class Main {
	public static int n, k;
	public static int[] w, v;
	public static int[][] d;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		n = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();

		w = new int[n + 1];
		v = new int[n + 1];
		d = new int[n + 1][k + 1];

		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			w[i] = sc.nextInt();
			v[i] = sc.nextInt();
		}

		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= k; j++) {
				// i번째 무게를 더 담을 수 없는 경우
				if (w[i] > j) {
					d[i][j] = d[i - 1][j];
				}
				// i번째 무게를 더 담을 수 있는 경우
				else {
					d[i][j] = Math.max(d[i - 1][j], d[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
				}
			}
		}
		System.out.println(d[n][k]);

	}

}