위상정렬

• 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것
• 현실 세계에서 위상 정렬을 수행하게 되는 전형적인 예시로는 '선수과목을 고려한 학습 순서 설정'을 들 수 있다.
  • 컴퓨터공학과의 커리큘럼이 다음 그림과 같이 총 3개의 과목만으로 구성되고 '알고리즘'의 선수과목으로 '자료구조'가 있다고 가정하자.
  • 또한 '고급 알고리즘'의 선수과목으로 '자료구조'와 '알고리즘'이 있다고 가정하자.
  • 이 경우 모든 과목을 수강하기 위해서는 자료구조 ➔ 알고리즘 ➔ 고급 알고리즘 순서로 강의를 수강해야 한다.
    
• 위상 정렬 알고리즘을 살펴보기 전에, 진입 차수를 알아야 한다.
  • 진입 차수란, 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수를 의미한다.
  • 위 예시에서 '고급 알고리즘' 노드를 확인해보면 2개의 선수 과목을 가지고 있고, 진입차수가 2임을 알 수 있다.

위상 정렬 알고리즘

1. 진입 차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
   ➔ 위상정렬을 수행할 그래프는 사이클이 없은 방향 그래프(DAG)이어야 한다.
   • 사이클이 존재할 경우, 모든 노드의 진입 차수가 1 이상이 되기 때문에 알고리즘을 수행할 수 없다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상정렬을 수행한 결과와 같다.

그림으로 이해하기

• 다음 그래프를 예로 설명하겠다.

STEP 0

• 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
• 현재 노드 1만 진입차수가 0이기 때문에 큐에 노드 1만 삽입한다.
• 큐에 삽입된 노드는 아래 그림처럼 색을 다르게 표기하겠다.

STEP 1

• 먼저 큐에 들어 있는 노드 1을 꺼내고, 노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거한다.
• 그러면 노드 2와 노드 5의 진입차수가 0이된다.
  • 따라서 노드 2와 노드 5를 큐에 삽입한다.
• 처리된 노드와 간선은 점선으로 표기하겠다.

STEP 2

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 2를 꺼낸다.
• 노드 2와 연결되어 있는 간선을 제거하면, 노드 3의 진입차수가 0이 된다.
  • 따라서 노드 3을 큐에 삽입한다.

STEP 3

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 5를 꺼낸다.
• 노드 5와 연결되어 있는 간선을 제거하면, 노드 6의 진입차수가 0이 된다.
  • 따라서 노드 6을 큐에 삽입한다.

STEP 4

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 3을 꺼낸다.
• 노드 3과 연결되어 있는 간선을 제거했을 때 새롭게 진입차수 0이 되는 노드는 없다.

STEP 5

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 6을 꺼낸다.
• 노드 6과 연결되어 있는 간선을 제거하면, 노드 4의 진입차수가 0이 된다.
  • 따라서 노드 4를 큐에 삽입한다.

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STEP 6

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 4를 꺼낸다.
• 노드 4와 연결되어 있는 간선을 제거하면, 노드 7의 진입차수가 0이 된다.
  • 따라서 노드 7을 큐에 삽입한다.

STEP 7

• 그 다음 큐에 들어 있는 노드 7을 꺼낸다.
• 노드 7과 연결되어 있는 간선을 제거했을 때 새롭게 진입차수 0이 되는 노드는 없다.
• 모든 노드에 대해 알고리즘 수행을 완료하였다.

• 위 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 위상 정렬을 수행한 결과가 된다.
• 만약 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러 답이 존재할 수 있다.
• 위 예시에서는 1-2-5-3-6-4-7 과 1-5-2-3-6-4-7 이 답이 될 수 있다.

코드 작성하기

• 위상 정렬 소스코드는 다음과 같다.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

• 위에서 살펴본 예제를 입출력한 결과는 다음과 같다.

7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4

1 2 5 3 6 4 7

시간 복잡도

• 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야한다.
• 따라서 위상 정렬의 시간 복잡도는 $O(V+E)$ 이다.

References

• 이것을 취업을 위한 코딩테스트다. - 나동빈 저
• https://www.youtube.com/watch?v=xeSz3pROPS8