최단 경로 알고리즘

미미·2023년 5월 25일

다익스트라 알고리즘 플로이드 워셜

algorithm

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💡 최단 경로 알고리즘 : 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

각 지점은 그래프의 노드로 표현

지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다양한 문제 상황

한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산

매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류
한 번 처리된 노드의 최단거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음

🏃🏻 동작 과정

출발 노드를 설정
최단 거리 테이블을 초기화
방문하지 않은 노드에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 -> 힙(Heap) 자료구조 이용
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신

위 과정에서 3번과 4번을 반복

우선순위 큐

: 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조 -> 우선순위 큐를 구현하기 위해 Heap(힙)을 사용

이때, 힙은 최소힙(오름차순 정렬)과 최대힙(내림차순 정렬)이 있는데 여기서는 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야하므로 최소힙을 사용

import headpq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
            heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result).   # [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

🏃🏻‍♀️ 과정 설명

구현 소스코드

import headq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False]*(n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
	# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
	graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
		q = []
		# 시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
		heap.heappush(q, (0, start))
		distance[start] = 0
		while q: # 큐가 비어있지 않다면
			# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
			dist, now = heapq.heappop(q)
			# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
			if distance[now] < dist:
				continue
			# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
			for i in graph[now]:
				cost = dist + i[1]
				# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
				if cost < distance[i[0]]:
						distance[i[0]] = cost
						heap.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달 할 수 없는 경우. 무한이라고 출력
	if distance[i] == INF:
			print("INFINITY")
	# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
	else:
		print(distance[i])

2. 플로이드 워셜 알고리즘

모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행, 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요 없음
다이나믹 프로그래밍 유형
2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
→ a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

🏃🏻‍♀️ 과정 설명

구현 소스코드

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] *(n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range*1, n+1):
		for b in range(1, n+1):
				if a==b:
						graph[a][b]=0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
	a, b, c = map(int, input().split())
	graph[a][b] = c

# 점호식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
			for b in range(1, n+1):
					graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
		# 도달 할 수 없는 경우. 무한이라고 출력
		if graph[a][b] == INF:
				print("INFINITY", end=" ")
		# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
		else:
			print(graph[a][b], end=" ")
		print()