스칼라, 벡터, 벡터 공간의 성질

1. 스칼라(Scalar)

• 정의: 크기만 있고 방향은 없는 수
• 예시: 2D 게임에서 시간(time), 속도의 크기(speed), 캐릭터의 크기(scale) 등을 나타낼 때 주로 사용한다.
• 특징: 실수로 표현되며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 연산을 수행할 수 있다.

예를 들어, 캐릭터의 애니메이션 프레임 시간을 0.016초(약 60fps)로 설정한다고 하면, 이 0.016은 방향이 없는 순수한 크기 정보이므로 스칼라에 해당한다.

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2. 벡터(Vector)

• 정의: 크기와 방향을 모두 갖춘 수학적 객체
• 표현: 2D에서 벡터 $v$는 일반적으로 $(x, y)$로 표현되며, 각각 실수(스칼라)인 $x$, $y$ 좌표를 가진다.
• 예시: 캐릭터가 화면 상에서 (3, 4)만큼 이동한다고 할 때, 이는 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 4만큼 움직인 벡터를 의미한다.

2.1 벡터의 길이(원점으로부터의 최단 거리)

• 예: $v = (3,4)$라면 $|v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
• 게임에서 캐릭터와 오브젝트 사이의 거리, 투사체의 이동 거리 등을 계산할 때 자주 사용한다.

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3. 벡터 공간의 성질

2D 벡터는 일반적인 벡터 공간의 성질을 그대로 따른다. 아래의 성질들은 2D 게임에서 캐릭터 이동, 물리 엔진 구현 등에 활용된다.

1. 벡터 덧셈의 결합법칙
   $u + (v + w) = (u + v) + w$

   • 캐릭터가 $u, v, w$ 순으로 이동하더라도, 최종 위치는 순서를 어떻게 바꾸어 이동해도 동일하다.

2. 벡터 덧셈의 교환법칙
   $u + v = v + u$

   • 두 벡터를 더하는 순서는 결과 벡터에 영향을 주지 않는다.
   • 예: (3, 4) + (1, 2)나 (1, 2) + (3, 4)는 같은 결과 (4, 6).

3. 덧셈 항등원(영벡터 $0$ )
   $v + 0 = v$

   • (0,0)을 더하면 원래 벡터가 변하지 않는다.

4. 덧셈 역원
   $v + (-v) = 0$

   • 예: (5, 7)에 (-5, -7)을 더하면 (0, 0)이 되어 원래 위치로 돌아온다.

5. 스칼라 곱셈 연산의 호환성
   $1 \cdot v = v$

   • 벡터에 1을 곱해도 벡터가 변하지 않는다.

6. 분배법칙
   $a(u + v) = au + av$

   • 게임에서 캐릭터의 이동 속도(scalar)를 벡터 두 개(방향)로 분할해서 계산하는 경우에 활용된다.