Coordinate Frames, Kinematics

Reference : Principles of GNSS Inertial and Multisensor Integrated Navigation Systems

Attitude, Rotation, Resolving Axes Transformation

Attitude : orientation of axes of one coordinate w.r.t another coordinate frame.

Coordinate Transformation Matrix, Rotation Matrix : $C_\alpha^\beta$

$x^\beta=C_\alpha^\beta x^\alpha$ : 임의의 벡터 x의 resolving axes를 $\alpha$에서 $\beta$로 변환

위와 같이 $C^\beta_\alpha$는 vector의 resolving frame을 $\alpha$에서 $\beta$로 변환시키는 coordinate transformation Matrix이면서, $\beta$에서 $\alpha$로의 Rotation Matrix. 2가지 의미를 갖는다.

Kinematics

$x_{\beta \alpha}^\gamma$

• $\alpha$ : object frame. x의 motion이 기술되는 프레임.
• $\beta$ : reference frame : motion의 기준이 되는 프레임.
• $\gamma$ : resolving frame : motion이 표현되는 프레임.

예를 들어 x가 position(위치)에 대한 물리량이라고 하면, $x_{\beta\alpha}^\gamma$는 $\beta$ frame 기준 $\alpha$ frame의 위치를 $\gamma$ frame으로 표현한 값이다.

1. Angular rate

$w_{\beta\alpha}^\gamma$ : $\beta$ frame 기준 $\alpha$ frame의 회전속도를 $\gamma$ frame으로 표현한 벡터.

$w_{\beta\alpha}^\gamma=w_{\beta\delta}^\gamma+w_{\delta\alpha}^\gamma$, $\quad w_{\beta\alpha}^\delta=C^\delta_\gamma w_{\beta\alpha}^\gamma$

$\alpha$ frame은 회전하고, $\beta$ frame은 회전하지 않는다고 가정하면

$C^\alpha_\beta(t+\delta t)=C^{\alpha(t+\delta t)}_{\alpha(t)}C^\alpha_\beta(t)=exp(-[w^\alpha_{\beta\alpha}]_{\times}\delta t)C^\alpha_\beta(t)\approx (I-[w^\alpha_{\beta\alpha}]_{\times} \delta t)C^\alpha_\beta(t)$

$\dot{C}_\beta^\alpha=\lim_{\delta t->0}(\frac{C^\alpha_\beta(t+\delta t)-C^\alpha_\beta(t)}{\delta t})=-[w^\alpha_{\beta\alpha}]_{\times}C^\alpha_\beta$를 얻는다.

반대로 $\alpha$ frame은 회전하지 않고, $\beta$ frame이 회전한다고 가정하면

$\dot{C}_\beta^\alpha=-C^\alpha_\beta[w^\beta_{\beta\alpha}]_{\times}$를 얻는다.

$C^\alpha_\beta[w^\beta_{\alpha\beta}]_{\times}C^\beta_\alpha=[w^\alpha_{\alpha\beta}]_\times$이므로

$\dot{C}^\alpha_\beta=-C^\alpha_\beta[w^\beta_{\beta\alpha}]_\times=-[w^\alpha_{\beta\alpha}]_{\times}C^\alpha_\beta$

2. Cartesian Position

$r^\gamma_{\beta\alpha}=(x^\gamma_{\beta\alpha},y^\gamma_{\beta\alpha},z^\gamma_{\beta\alpha})$ : $\beta$ frame 기준 $\alpha$ frame의 origin의 위치를 $\gamma$ frame으로 표현한 값.

$r^\gamma_{\beta\alpha}=-r^\gamma_{\alpha\beta}$, $r^\gamma_{\beta\alpha}=r^\gamma_{\delta\alpha}-r^\gamma_{\delta\beta}=r^\gamma_{\beta\delta}+r^\gamma_{\delta\alpha}$

$r^\delta_{\beta\alpha}=C^\delta_\gamma r^\gamma_{\beta\alpha}$

3. velocity

$v^\gamma_{\beta\alpha}=C^\gamma_\beta\dot{r}^\beta_{\beta\alpha}$ : b frame기준 a 프레임의 위치의 변화율을 $\gamma$ frame으로 표현한 값.

position의 경우와 달리, ref frame과 resolving frame이 서로 회전하는 경우($\dot{C^\gamma_\beta \neq0}$) resolving frame에서 표현되는 position의 변화율과 velocity는 서로 다르다.
$\dot{r}^\gamma_{\beta\alpha}=\dot{C^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha} }=\dot{C}^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha}+C^\gamma_\beta \dot{r}^\beta_{\beta\alpha}=\dot{C}^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha}+v^\gamma_{\beta\alpha}$

또한 position과 달리 velocity는 마이너스를 곱하고 reference frame과 object frame을 바꾼 값이 원래의 값과 일치하지 않는다.

$v^\gamma_{\alpha\beta}=-v^\gamma_{\beta\alpha}-C^\gamma_\alpha\dot{C}^\alpha_\beta r^\beta_{\beta\alpha}$

또한 position과 달리 velocity의 vector sum을 사용할 수 없다.
$v^\gamma_{\beta\alpha} \neq v^\gamma_{\beta\delta}+v^\gamma_{\delta\alpha}$

velocity의 resolving frame을 변환하는 것은 가능하다.
rate of change of position(position의 변화율)과는 다름을 주의.

$v^\delta_{\beta\alpha}=C^\delta_\gamma v^\gamma_{\beta\alpha}$

4. acceleration

$a^\gamma_{\beta\alpha}=C^\gamma_\beta \ddot{r}^\beta_{\beta\alpha}$

reference frame과 resolving frame이 서로 회전하는 경우 $\dot{v}$와 $\ddot{r}$은 아래와 같다.

$\dot{v}^\gamma_{\beta\alpha}=\dot{C^\gamma_\beta\dot{r}^\beta_{\beta\alpha}}=\dot{C}^\gamma_\beta\dot{r}^\beta_{\beta\alpha}+C^\gamma_\beta\ddot{r}^\beta_{\beta\alpha}=\dot{C}^\gamma_\beta\dot{r}^\beta_{\beta\alpha}+a^\gamma_{\beta\alpha}$

$\ddot{r}^\gamma_{\beta\alpha}=\ddot{C^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha}}=\ddot{C}^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha}+2\dot{C}^\gamma_\beta \dot{r}^\beta_{\beta\alpha}+a^\gamma_{\beta\alpha}$

angular rate에서 구한 식을 이용하면
$\ddot{C}^\gamma_\beta r^\beta_{\beta\alpha}=([w^\gamma_{\beta\gamma}]_\times^2-\dot{[w^\gamma_{\beta\gamma}]}_\times)r^\gamma_{\beta\alpha}$

$\dot{C^\gamma_\beta} \dot{r}^\beta_{\beta\alpha}=-[w^\gamma_{\beta\gamma}]_\times^2 r^\gamma_{\beta\alpha}-[w^\gamma_{\beta\gamma}]_\times \dot{r}^\gamma_{\beta\alpha}$를 얻을 수 있고, 두 식을 사용해 정리하면

$\ddot{r}^\gamma_{\beta\alpha}=-[w^\gamma_{\beta\gamma}]_\times^2 r^\gamma_{\beta\alpha}-2[w^\gamma_{\beta\gamma}]_\times \dot{r}^\gamma_{\beta\alpha}-\dot{[w^\gamma_{\beta\gamma}]}_\times r^\gamma_{\beta\alpha}+a^\gamma_{\beta\alpha}$
1, 2, 3번째 term은 각각 centrifugal, coriolis, euler pseudo-force에 관련된 값이다.

velocity와 마찬가지로 vector sum이 가능하지 않고, accel의 좌표계 변환은 가능하다.

$a^\gamma_{\beta\alpha} \neq a^\gamma_{\beta\delta}+a^\gamma_{\delta \alpha}$

$a^\delta_{\beta\alpha}=C^\delta_\gamma a^\gamma_{\beta\alpha}$

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