오일러-라그랑주 방정식

NK590·2023년 10월 5일

기초 개념

본격적으로 오일러-라그랑주 방정식을 다루기 이전에 필요한 용어와 개념을 정리한다.

범함수 (Functional)

함수를 입력받아 스칼라를 내놓는 함수를 뜻한다. 즉, 함수의 집합을 정의역으로 갖는 함수이다. 대표적인 범함수의 예 중에는 다음과 같은 정적분이 있다.

\int : f \mapsto \int_a^b f(x)dx

또한, $y = f(x)$ 에 대해, $f(x)$ 의 호의 길이(arclength)도 범함수라고 할 수 있다.

s : f \mapsto \int_sds = \int_s\sqrt{dx^2 + dy^2} = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + f'(x)^2}dx

어떤 범함수 $\mathcal{L}$ 이 $t$ 의 함수인 $q, \dot{q}$ 로 이루어져 있다는 것을 명시적으로 표기하기 위해 다음과 같은 표기법도 사용된다.

\mathcal{L}(t, q, \dot{q}) = \mathcal{L}(q, \dot{q}\ ; t)

변분법 (Calculus of Variations)

미적분학의 한 분야로, 범함수의 극대값, 극소값 등을 찾는 일련의 방식을 뜻한다. 변분법에서 주로 다루는 문제는 범함수의 최대/최소값이다.

$f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 이 연속함수이고, $(a, b)$ 상에서 정의된 콤팩트 지지(Compactly supported)된 매끄러운(smooth) 임의의 함수 $h$ 에 대해,

\int_{a}^{b}f(x)h(x) = 0

이 항상 성립하면, $f$ 는 값이 $0$ 인 항등함수이다. 이를 변분법의 기본 보조정리(Fundamental lemma of the calculus of variations)라고 하며, 하술할 오일러-라그랑주 방정식을 유도하는 데에 쓰인다.

오일러-라그랑주 방정식

일변수 함수 $y(x)$ 와 그 도함수 $y'(x)$ 를 변수로 가지는 다음과 같은 범함수 $J$ 를 생각하자.

J[y] = \int_{x_1}^{x_2} f(y(x), y'(x)\ ; x) dx

이 때, 범함수 $J$ 가 극값을 가질 때 $f$ 가 만족하는 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) = 0

이를 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange Equation)이라고 한다.

증명

주어진 함수 $y$ 에 대해, $y$ 의 양 끝점을 고정한 상태로 $\epsilon$ 만큼 '아주 작은 변화'를 준 함수 $y_\epsilon$ 을 생각하자. 즉, $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ 인 미분 가능한 함수 $\eta(x)$ 에 대해,

y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\eta(x)

라고 하자. 이를 범함수 $J$ 에 대입하면 다음과 같다.

J[y_\epsilon] = \int_{x_1}^{x_2} f(y_\epsilon(x), y_\epsilon'(x)\ ; x) dx

이 때, $\epsilon$ 값에 변화를 줄 때, $\epsilon$ 에 대한 $J$ 값의 미분값이 $0$ 이 되는 지점이 바로 극값이 되는 지점이고, 우리가 찾는 $f$ 의 조건이 될 것이다. $dJ/d\epsilon$ 을 구해보면 다음과 같다.

\begin{aligned} \frac{dJ}{d\epsilon} &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{df}{d\epsilon}(y_\epsilon(x), y_\epsilon'(x)\ ; x) dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial\epsilon} + \frac{\partial f}{\partial y_\epsilon}\frac{\partial y_\epsilon}{\partial\epsilon} + \frac{\partial f}{\partial y_\epsilon'}\frac{\partial y_\epsilon'}{\partial\epsilon} \right]dx \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \left[ \eta(x)\frac{\partial f}{\partial y_\epsilon} + \eta'(x)\frac{\partial f}{\partial y_\epsilon'} \right]dx \quad &(\because y_\epsilon(x) = y(x) + \epsilon\eta(x))\\ &=\left[ \eta(x) \frac{\partial f}{\partial y_\epsilon'} \right]_{x_1}^{x_2} + \int_{x_1}^{x_2} \eta(x)\left[ \frac{\partial f}{\partial y_\epsilon} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_\epsilon'} \right]dx\quad &(\because \textnormal{Integration by parts}) \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \eta(x)\left[ \frac{\partial f}{\partial y_\epsilon} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_\epsilon'} \right]dx\quad &(\because \eta(x_1) = \eta(x_2) = 0) \\ \left.\frac{dJ}{d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0} &= \int_{x_1}^{x_2} \eta(x)\left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} \right]dx = 0 \end{aligned}

여기서, $\eta(x)$ 는 양 끝점만 고정한 임의의 함수로 정의하였으므로, 변분법의 기본정리에 의해 해당 적분값이 0이 되기 위해서는 대괄호 안에 있는 함수가 0이 되어야 한다. 즉,

\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) = 0

이고, 이는 우리가 얻고자 하는 오일러-라그랑주 방정식 그 자체이다.

응용

두 점 사이를 잇는 최단거리

위에서 잠깐 살펴보았듯이, 두 점 사이의 호의 길이는 다음과 같이 주어진다.

s(x, f, f') = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + f'(x)^2}dx

호의 길이의 최소값을 구하기 위해 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 다음과 같다.

\begin{aligned} 0 &= -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial}{\partial f'}\sqrt{1 + f'(x)^2} \right) \\ &= -\frac{d}{dx}\left(\frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}}\right) \end{aligned}

여기서 괄호 안의 값은 $x$ 에 의존적이지 않은 상수임을 알 수 있으며, 이를 $k$ 라고 한다면 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{aligned} & \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = k \\ \Rightarrow \quad & f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-k^2}} = c \end{aligned}

즉, $f$ 의 $x$ 에 대한 미분값, 즉 기울기는 $x$ 에 의존하지 않는 상수이며, 이는 $f$ 가 일정한 기울기를 가진 1차함수의 형태를 띄게 됨을 의미한다. 2차원 유클리드 공간 상에서 두 점을 잇는 최단거리는 바로 직선이라는 직관적인 결과와 일치한다.

라그랑주 역학 (Lagrangian mechanics)

물리학 - 특히 고전역학에서, 자연 현상을 기술함에 있어서 힘과 가속도의 관계로 설명되는 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)적인 관점 외에도, '작용(Action)'이라는 물리량을 정의하여 자연계는 항상 이 작용을 최소화하는 방향을 선호한다는 최소 작용의 원리 (Least action principle)의 관점을 적용할 수 있다.

이 때, 다음과 같은 라그랑지언 (Lagrangian)이라는 범함수 $\mathcal{L}$ 를 생각한다.

\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_i(t), \dot{q_i}(t); t)

여기서, $q_i(t)$ 는 일반화된 좌표계(Generalized coordinates)이다. 이 때, 라그랑지언을 운동 에너지 $T$ 와 퍼텐셜 에너지 $V$ 의 차, 즉

\mathcal{L} = T - V

로 정의하면, 놀랍게도 최소 작용의 원리에 의해 위에서 유도한 오일러-라그랑주 방정식과 거의 동일한 과정을 거쳐 뉴턴 역학과 완전히 일치하는 운동 방정식을 얻을 수 있다.

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1개의 댓글

최원석

2023년 10월 15일

안녕하세요 글 잘 보고 있어요..!
제가 요즘 많이 고심하는데도 모르겠어서
여쭤보고 싶은 공업수학 문제가 있는데
혹시 답변 해주실 수 있으실까요..?
곤란 하시다면 답변 안 해주셔도 괜찮아요
문제는 이거예요…!

“분리가능 상미분 방정식은 양형태 상미분 방정식의 일부이고, 완전 상미분 방정식은 음형태 상미분 방정식 일부라고 볼 수 있다.
양형태의 상미분 방정식 중 분리가능한 상미분 방정식을 제외하고 남은 상미분 방정식들은 어떤 것들이 있는지 (즉, 분리가능하지 않은 상미분 방정식들), 음형태의 상미분 방정식 중 완전 상미분 방정식을 제외하고 남은 상미분 방정식들은 어떤 것들이 있는지 (즉, 완전하지 않은 상미분 방정식들) 쓰시오.
즉.
양형태의 상미분 방정식의 전체 집합을 W.
음형태의 상미분 방정식의 전체 집합을 U,
분리가능한 상미분 방정식의 전체 집합을 A,
완전 상미분 방정식의 전체 집합을 B
라고 할 때
집합 A^c ᑎ W 과 집합 B^c ᑎ U 에 대해 기술하는 문제이다. 그 집합에 해당하는 미분 방 정식의 예를 몇 개 구하고 그들의 공통된 특징을 기술하는 방법을 써도 좋고, 아니면 이 집 합에 속하는 방정식들의 특징을 바로 기술하여도 좋다.“

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