적률생성함수

확률변수 $X$에 대해, $X$의 $N$차 적률 (nth moment) $\mu_n$은 다음과 같이 정의된다.

즉, $E[X]$ 는 1차 적률, $E[X^2]$는 2차 적률이다. 여기서, 적률생성함수(Moment Generating Function, MGF) $M_X(t)$은 n차 적률을 계수로 갖는 급수로, 다음과 같이 정의된다.

이를 $t=0$에서 테일러 급수 전개를 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

즉, 적률생성함수와 N차 적률 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

여기서 중요한 점은, 정의에서 암시되듯 어떤 확률변수에 대해 적률함수가 존재하지 않을 수도 있다는 것이다. 적률생성함수를 구했을 때 발산하는 경우 등이 그러하다.

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적률생성함수의 성질

적률생성함수에는 다음과 같은 성질이 존재한다.

• $M_{X+c}(t) = e^{ct}M_X(t)$
• $M_{kX}(t) = M_X(kt)$
• 확률분포 $X, Y$가 독립일 시, $M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t)$
• 두 확률분포의 적률생성함수가 같으면, 두 확률분포는 같다.

또한, 유명한 확률 분포의 적률생성함수를 정리하면 다음과 같다.

확률분포	수식	적률생성함수
표준정규분포	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$	$e^{t^2/2}$
이항 분포	$\binom{n}{k} \cdot p^k (1-p)^{n-k}$	$(pe^t + (1-p))^n$
푸아송 분포	$\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$	$e^{\lambda(e^t - 1)}$