확률 밀도 함수와 합성곱(Convolution)

독립적인 확률변수 $X, Y$가 있다고 가정할 때, 각각의 확률질량함수를 $m_x(i), m_y(i)$라고 하자.

이 때, $Z = X + Y$로 정의되는 새로운 확률변수를 생각하고, $Z = z$가 되는 $z$가 존재할 때, $X = k$이면 $Y = z - k$가 될 수밖에 없다. 즉, $Z = z$가 될 확률은 모든 $k에$ 대하여

와 같은 관계식이 성립한다. 즉, $Z$의 확률질량함수를 $m_z(i)$라고 하면, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

이를 확장하여, $X$와 $Y$가 연속적인 확률변수이고, 각각의 확률밀도함수를 각각 $f(x), g(x)$라고 할 때, $Z = X + Y$로 정의되는 연속확률변수 $Z$의 확률밀도함수 $h(x)$는 합성곱(convolution)을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.