Lipschitz Condition

<이 글은 NPTEL의 다음 강의노트를 참조하였음을 밝힙니다.>
https://nptel.ac.in/courses/108106024

  만약 우리가 다음과 같은 state를 가지는 시스템이 있다고 해봅시다.

  만약 $f$가 continuous하다면, $\dot{x} = f(x)$ 가 유일성은 보장되지 않더라도 해를 가진다는 사실을 알 수 있습니다. 반대로, 만약 $f$가 differentiable하다면, $\dot{x} = f(x)$ 가 유일한 해를 갖습니다.
따라서 differentiable한 조건은 매우 엄밀한 조건이고, continuous할 경우 해의 유일성은 보장되지 않기 때문에, 해의 유일성은 보장되면서 differentiable한 것보단 더 느슨한 조건을 찾는 것이 필요할 것입니다.

  이 때 등장하는 것이 Lipschitz condition인데요, 이에 대한 정의는 다음과 같습니다.

[점 $x$에 대한 locally Lipshitz condition] Definition of locally Lipschitz condition) 함수 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$는 다음과 같은 조건을 만족할 경우, $x$에서 locally Lipschitz하다고 한다. $\epsilon>0$에 대해, 만약 $B(x, \epsilon)$를 $x$에 대한 $\epsilon$ neighborhood라고 하면

  그리고 이 때 $L>0$을 Lipschitz constant라고 부릅니다.

  Locally Lipschitz 조건은 한 점과 그 neighborhood에 대한 조건임을 알 수 있습니다. 또한 $L$을 잘 수정할 경우, $\epsilon - \delta$정리을 통해 locally Lipschitz한 함수는 locally continuous하다는 사실을 증명할 수 있습니다.[확인필요] 하지만 이를 set, 혹은 전체 $\mathbb{R}^n$에 대해 정의할 수 있는데요, 이는 아래 corollary에 서술하겠습니다.

[집합에 대한 locally Lipshitz condition] Corollary 1) $\mathbb{R}^n$ 에 정의된 $f$와 집합 $D \subset \mathbb{R}^n$이 주어졌을 때, 만약 $f$가 $D$ 내부의 각각의 점과 그 neighborhood $D_0$에 대해서 locally Lipschitz 조건을 만족할 경우(i.e., 각 점에 대해 Lipschitz constant $L_0>0$가 존재할 경우), $f$는 domin $D$에 대해 locally Lipschitz하다고 한다.

[집합에 대한 Lipshitz condition] Corollary 2) $\mathbb{R}^n$ 에 정의된 $f$와 집합 $W \subset \mathbb{R}^n$이 주어졌을 때, 만약 $f$가 $W$ 내부의 각각의 점에 대해서 locally Lipschitz 조건을 만족하고, $W$ 내부의 각 점에 대해 동일한 Lipschitz constant $L>0$가 존재할 경우 $f$는 domin $W$에 대해 Lipschitz하다고 한다.

Corollary 3) $\mathbb{R}^n$ 에 정의된 $f$와 집합 $D \subset \mathbb{R}^n$이 주어졌을 때, 만약 $f$가 $D$에 대해 locally Lipschitz할 경우, $D$에 포함된 임의의 compact subset $C$에 대해 $f$는 Lipschitz하다.(i.e., $f$ is Lipschitz on $C \subset D$)

Corollary 4) $\mathbb{R}^n$ 에 정의된 $f$가 $\mathbb{R}^n$에 대해 Lipschitz할 경우, $f$는 globally Lipschitz하다고 한다.

Conclusion

  따라서 Lipschitz condition은 바나흐 고정점 정리에 쓰이고, differentiable한 조건보다는 더 느슨하면서 unique한 solution을 찾는 조건으로 사용됩니다. 다음 글에서는, nonlinear한 system에 대해서 바나흐 고정점 정리가 어떻게 쓰이는지에 대해서 다루겠습니다. 감사합니다.